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Quelles Sont Les Radicaux?

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termes clés

o Radical

o racine carrée

o carré parfait

o racine cubique

objectifs

O comprendre la signification d’un symbole radical

O être capable de calculer des racines carrées ainsi que des racines simples exposants

o appliquer les règles des exposants pour dériver les règles des racines des produits et des quotients

Nous allons revoir la signification des exposants fractionnaires et les relier aux radicaux. Un radical est un symbole qui représente une racine particulière d’un nombre., Ce symbole est indiqué ci-dessous.

bien que ce symbole ressemble à ce qui est utilisé dans la division longue, un radical est différent et a une signification très différente. Le radical, en lui-même, signifie une racine carrée. La racine carrée d’un nombre n s’écrit comme suit.

la racine carrée de n est définie comme un autre nombre R tel que le carré (deuxième puissance) de r est égal à n.

examinons quelques exemples spécifiques pour illustrer cette relation quelque peu obscure., Considérons, par exemple, le nombre 4. Clairement, , et donc, la racine carrée de 4 est 2. Symboliquement,

ci-Dessous quelques exemples supplémentaires.

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Les exemples ci-dessus (1, 4, 9 et 16) sont appelés carrés parfaits, car leurs racines carrées sont des entiers. Les valeurs fractionnaires ont également des racines carrées, cependant.,

En outre, nous pouvons calculer la racine carrée de zéro.

Ainsi, nous pouvons calculer la racine carrée d’un nombre supérieur ou égal à zéro; cependant, nous ne pouvons calculer la racine carrée d’un nombre négatif. Notez encore que la racine carrée d’un nombre n est un certain nombre r tel que . Si n est négatif et nous voulons trouver la racine carrée de n (ou ), nous devons trouver un nombre r tel que est négatif., Mais nous savons que le produit de deux nombres négatifs est positif, et le produit de deux nombres positifs est positif aussi, comme le montrent les exemples ci-dessous montrent.

en outre, le produit de zéro et zéro est zéro, donc nous restons dans l’incapacité de trouver un nombre dont le carré (deuxième pouvoir, ou le produit d’un nombre par lui-même) est négatif. Ainsi, nous considérons que la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie., (En fait, toute une branche des mathématiques est dédiée à l’étude des racines carrées des nombres négatifs; mais c’est un domaine d’étude réel avec de nombreuses applications pratiques en physique et en ingénierie, par exemple.)

Problème Pratique: Évaluer chaque racine carrée.

un. b. c. d.,

Solution: dans chaque cas, déterminez le nombre n qui, s’il est carré (élevé à la deuxième puissance), égalerait le nombre sous le radical. Aucun d’entre eux ne nécessite une calculatrice, bien que vous puissiez constater qu’une calculatrice vous aide à vérifier votre réponse.

un. b.

c. d.,

de manière générale, l’évaluation de racines carrées nécessite une calculatrice. Il existe cependant des méthodes longues (« à la main ») pour calculer une racine carrée, bien qu’elles puissent être fastidieuses. De plus, les racines carrées de nombreux nombres (y compris les entiers qui ne sont pas des carrés parfaits) sont irrationnelles., Ainsi, les calculatrices (y compris les ordinateurs) et les longues méthodes de calcul de la racine carrée ne peuvent donner que des résultats approximatifs; les nombres réels ont un nombre infini de décimales et ne peuvent pas être écrits comme une fraction avec des entiers dans le numérateur et le dénominateur. Ainsi, dans l’intérêt des mathématiques exactes, il est parfois préférable de laisser les nombres sous forme radicale (au lieu d’écrire une décimale approximative). Par exemple, nous pourrions préférer écrire au lieu de 1.414, ce qui n’est qu’une approximation à trois décimales.,

autres racines

ci-dessus, nous avons discuté des racines carrées exclusivement, et nous avons noté que le symbole radical en lui-même indique la racine carrée. Dans certains cas, cependant, nous pourrions être intéressés à calculer d’autres racines de nombres. Pour rappel, la racine carrée de n est un nombre r, où les relations suivantes s’appliquent.

Nous pouvons également calculer, par exemple, la troisième racine (également appelée racine cubique) d’un nombre n. pour représenter la troisième racine, nous ajoutons un petit nombre 3 à côté du radical comme indiqué dans les relations ci-dessous. , Ces expressions se rapportent le nombre n, et sa racine cubique r.

prenons un oeil à quelques exemples.

On peut aussi définir un général kth racine d’un nombre n, c’est,

En d’autres termes, si un nombre n est égal à un nombre r à la puissance k, alors la k-ième racine de n est r. D’autres exemples sont présentés ci-dessous.,

le Calcul des racines au-delà de la racine carrée mentalement ou à la main devient de plus en plus difficile; ainsi, dans de tels cas, une calculatrice est généralement nécessaire. De plus, très peu de nombres ont des racines KTH qui sont des entiers, ce qui signifie que la plupart des racines kth sont des nombres irrationnels, qui ne peuvent pas être écrits exactement sous forme décimale ou fractionnaire. Nous traiterons principalement des racines carrées; vous devriez maintenant, cependant, avoir une certaine familiarité avec d’autres racines., Nous avons maintenant également une base suffisante pour nous permettre de relier les racines aux exposants.

problème de pratique: évaluez l’expression dans chaque cas.

A. B. C.

Solution: comme pour le problème de pratique précédent, ces nombres ne nécessitent pas d’utiliser une calculatrice, mais ils peuvent nécessiter une réflexion approfondie (et peut-être quelques essais et erreurs). Dans la partie c, notez que 1 élevé à tout exposant (exprimé en c) est 1.

un. b.,

c.

exposant Fractionnaire

Avant d’envisager certaines règles pour traiter avec les radicaux, nous pouvons apprendre beaucoup sur eux en les associant à des exposants. Notez que nous avons utilisé des exposants en expliquant le sens de la racine (et le radical symbole):

Nous pouvons appliquer les règles des exposants à la seconde expression, ., Rappelez-vous la règle ci-dessous:

en revenant à l’expression , réécrivons le côté gauche (n) en utilisant la règle ci-dessus et en supposant que la règle fonctionne pour les exposants fractionnaires ainsi que pour les exposants entiers (nous n’avons aucune raison de supposer,

Notez que les expressions entre parenthèses (r et ) doit être égal:

Maintenant, nous allons comparer ce résultat avec l’autre parent depuis le début de cette discussion:

Ainsi, une racine carrée (radical) est le même que d’une fraction de l’exposant-, dans ce cas. Nous pouvons utiliser un raisonnement similaire pour montrer que la kème racine d’un nombre n est la même que n élevé à la puissance de .,

Ainsi, nous pouvons approche radicale expressions sur leurs propres conditions ou exponentielle des expressions. Dans certains cas, écrire l’expression à l’aide d’exposants peut simplifier le calcul; dans d’autres cas, s’en tenir à la forme radicale est préférable. En tout état de cause, nous avons maintenant décrit la signification de tous les exposants, y compris les valeurs positives et négatives ainsi que les valeurs entières et fractionnaires. De plus, nous pouvons utiliser les règles d’un produit ou d’un quotient élevé à un pouvoir pour montrer comment le radical est distribué dans de tels cas.,

Ces règles peuvent être utiles pour simplifier les expressions radicales et à effectuer des opérations arithmétiques sur les radicaux.

problème de pratique: évaluez chacune des expressions suivantes.

un. b. c.

la Solution: Dans chaque cas, d’appliquer les règles de radicaux (ou représentants) pour évaluer l’expression., Dans la partie b, Nous pouvons diviser l’exposant en un produit d’un entier (2) et d’une fraction () pour simplifier le calcul du résultat.

un. b.

c.

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