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os exemplos acima (1, 4, 9 e 16) são chamados quadrados perfeitos, porque suas raízes quadradas são inteiros. Os valores fracionais também têm raízes quadradas, no entanto.,

além disso, podemos calcular a raiz quadrada de zero.

Assim, podemos calcular a raiz quadrada de qualquer número maior que ou igual a zero; no entanto, não podemos calcular a raiz quadrada de um número negativo. Note novamente que a raiz quadrada de um número N é algum Número R tal que . Se n for negativo e nós queremos encontrar a raiz quadrada de n (ou ), precisamos encontrar algum número r, tais que for negativo., Mas sabemos que o produto de dois números negativos é positivo, e o produto de dois números positivos também é positivo, como os exemplos abaixo mostram.

além disso, o produto de zero e o zero é zero, portanto estamos a esquerda não é possível encontrar um número cujo quadrado (segunda potência, ou o produto do número e a si mesmo) é negativo. Assim, consideramos indefinida a raiz quadrada de um número negativo., (Na verdade, um ramo inteiro da matemática é dedicado a estudar raízes quadradas de números negativos; mas é um campo Real de estudo com inúmeras aplicações práticas em física e engenharia, por exemplo.)

problema de prática: avaliar cada raiz quadrada.

Solução: Em cada caso, determine o número n de que, se ao quadrado (elevado à segunda potência), seria igual ao número sob o radical. Nenhum destes requer uma calculadora, embora você possa achar que uma calculadora ajuda você a verificar sua resposta.

c. d.,

geralmente, a avaliação das raízes quadradas requer uma calculadora. Métodos longos (“pela mão”) para calcular uma raiz quadrada existem, no entanto, embora possam ser tediosos. Além disso, as raízes quadradas de muitos números (incluindo inteiros que não são quadrados perfeitos) são irracionais., Assim, calculadoras (incluindo computadores) e métodos longos de calcular a raiz quadrada só podem dar resultados aproximados; os números reais têm um número infinito de casas decimais e não podem ser escritos como uma fração com números inteiros no numerador e denominador. Assim, no interesse da matemática exata, deixar os números em forma radical (em vez de escrever um decimal aproximado) é às vezes preferível. Por exemplo, podemos preferir escrever em vez de 1.414, que é apenas uma aproximação a três casas decimais.,

outras raízes

acima, discutimos raízes quadradas exclusivamente, e notamos que o símbolo radical por si só indica a raiz quadrada. Em alguns casos, no entanto, podemos estar interessados em Calcular outras raízes dos números. Para reiterar, a raiz quadrada de n é um número r, onde se aplicam as seguintes relações.

Nós também podemos calcular, por exemplo, a terceira raiz (também chamado de cubo de raiz) de um número n. Para representar a terceira raiz, podemos adicionar um pequeno número 3 ao lado do radical, como mostrado nas relações abaixo., Estas expressões relacionam o número n e a sua raiz cúbica r.

vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

podemos também definir uma geral kth raiz de um número n; isto é,

Em outras palavras, se um número n é igual ao número de r elevado à potência de k, então o k raiz de n é r. Mais alguns exemplos são mostrados abaixo.,

o Cálculo de raízes para além da raiz quadrada mentalmente ou por mão fica cada vez mais difícil; assim, em tais casos, a calculadora é geralmente necessário. Além disso, muito poucos números têm raízes de kth que são inteiros, o que significa que a maioria das raízes de kth são números irracionais, que não podem ser escritos exatamente na forma decimal ou fraccional. Vamos lidar principalmente com raízes quadradas; você deve agora, no entanto, ter alguma familiaridade com outras raízes., Agora também temos uma base suficiente para nos permitir relacionar raízes com expoentes.

problema de prática: avaliar a expressão em cada caso.

um. b. c.

Solução: Como com a prática anterior do problema, estes números não exija o uso de uma calculadora, mas podem exigir algum cuidado pensamento (e, talvez, um pouco de tentativa e erro). Na parte c, note que 1 elevado a qualquer expoente (expresso como c) é 1.

c.

Expoentes Fracionários

Antes de considerar algumas regras para lidar com os radicais, podemos aprender muito sobre eles, apenas, relacionando-as com os expoentes. Note que usamos os expoentes de explicar o significado de uma raiz (e o radical símbolo):

podemos aplicar as regras de expoentes para a segunda expressão, ., Recordar a regra mostrado abaixo:

Voltando-se para a expressão , vamos reescrever o lado esquerdo (n) usando a regra acima, e a suposição de que a regra funciona para expoentes fracionários, bem como o inteiro expoentes (nós não temos nenhuma razão para supor o contrário neste ponto).,

Observe que as expressões entre parênteses (r e ) deve ser igual a:

Agora, vamos comparar este resultado com o de outros relação desde o início desta discussão:

Assim, uma raiz quadrada (radical) é o mesmo como um expoente fracionário-, neste caso. Podemos usar raciocínio semelhante para mostrar que a raiz kth de um número N é a mesma que n elevado à potência de .,

assim, podemos abordar expressões radicais nos seus próprios termos ou como expressões exponenciais. Em alguns casos, escrever a expressão usando expoentes pode simplificar a matemática; em outros casos, ficar com a forma radical é melhor. Em qualquer caso, temos agora descrito o Significado de todos os expoentes, incluindo tanto valores positivos e negativos, bem como valores inteiros e fracionais. Além disso, podemos usar as regras para um produto ou quociente elevado a um poder para mostrar como o radical é distribuído em tais casos.,

Estas regras podem ser úteis na simplificação de radicais expressões e na realização de operações aritméticas em radicais.

problema de prática: avaliar cada uma das seguintes expressões.

um. b. c.

Solução: Em cada caso, aplicar as regras de radicais (ou expoentes) para avaliar a expressão., Na parte b, podemos dividir o expoente em um produto de um inteiro (2) e uma fração () para simplificar o cálculo do resultado.

c.