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¿Qué Son Los Radicales?

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Términos Clave

o Radical

o de la raíz Cuadrada

o cuadrado Perfecto

o raíz cúbica

Objetivos

o Comprender el significado de una radical símbolo

o Ser capaz de calcular raíces cuadradas como los simples de orden superior raíces

o se Relacionan raíces para exponentes fraccionarios

o Aplicar las reglas de los exponentes para derivar reglas para que las raíces de productos y cocientes.

vamos a revisar el significado de los exponentes fraccionarios y relacionarlos con los radicales. Un radical es un símbolo que representa una raíz particular de un número., Este símbolo se muestra a continuación.

aunque este símbolo se ve similar a lo que se usa en la división larga, un radical es diferente y tiene un significado muy diferente. El radical, por sí mismo, significa una raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número n se escribe de la siguiente manera.

La raíz cuadrada de n se define como otro número r tal que el cuadrado (segunda generación) de r es igual a n.

echemos un vistazo a algunos ejemplos concretos para ilustrar esta algo oscura relación., Consideremos, por ejemplo, el número 4. Claramente, , y por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2. Simbólicamente,

a Continuación se presentan varios ejemplos adicionales.

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Los ejemplos anteriores (1, 4, 9 y 16) se llaman cuadrados perfectos, porque sus raíces cuadradas son enteros. Sin embargo, los valores fraccionarios también tienen raíces cuadradas.,

además, podemos calcular la raíz cuadrada de cero.

por Lo tanto, podemos calcular la raíz cuadrada de cualquier número mayor que o igual a cero; sin embargo, no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Observe de nuevo que la raíz cuadrada de un número n es algún número r tal que . Si n es negativo y queremos encontrar la raíz cuadrada de n (o ), necesitamos encontrar algún número r tal que sea negativo., Pero sabemos que el producto de dos números negativos es positivo, y el producto de dos números positivos también es positivo, como muestran los ejemplos a continuación.

También, el producto de cero y cero es cero, por lo que estamos a la izquierda no se puede encontrar un número cuyo cuadrado (segunda potencia, o el producto del número y de la misma) es negativo. Por lo tanto, consideramos que la raíz cuadrada de un número negativo es indefinida., (En realidad, toda una rama de las matemáticas se dedica a estudiar las raíces cuadradas de los números negativos; pero es un campo real de estudio con numerosas aplicaciones prácticas en Física e ingeniería, por ejemplo.)

Práctica de Problema: Evaluar cada una raíz cuadrada.

un. b. c. d.,

Solución: En cada caso, determinar el número n de que, si al cuadrado (elevado a la segunda potencia), sería igual al número bajo el radical. Ninguno de estos requiere una calculadora, aunque puede encontrar que una calculadora le ayuda a verificar su respuesta.

un. b.

c. d.,

generalmente, la evaluación de raíces cuadradas requiere una calculadora. Sin embargo, existen métodos largos («a mano») para calcular una raíz cuadrada, aunque pueden ser tediosos. Además, las raíces cuadradas de muchos números (incluidos los enteros que no son cuadrados perfectos) son irracionales., Por lo tanto, las calculadoras (incluidas las computadoras) y los métodos largos de cálculo de la raíz cuadrada solo pueden dar resultados aproximados; los números reales tienen un número infinito de lugares decimales y no se pueden escribir como una fracción con enteros en el numerador y denominador. Por lo tanto, en el interés de las matemáticas exactas, dejar los números en forma radical (en lugar de escribir un decimal aproximado) es a veces preferible. Por ejemplo, podríamos preferir escribir en lugar de 1.414, que es solo una aproximación a tres decimales.,

otras raíces

anteriormente, discutimos las raíces cuadradas exclusivamente, y notamos que el símbolo radical por sí mismo indica la raíz cuadrada. En algunos casos, sin embargo, podríamos estar interesados en calcular otras raíces de números. Para reiterar, la raíz cuadrada de n es un número r, donde se aplican las siguientes relaciones.

También podemos calcular, por ejemplo, la tercera raíz (también llamada raíz cúbica) de un número n. para representar la tercera raíz, agregamos un pequeño número 3 junto al radical como se muestra en las relaciones a continuación., Estas expresiones relacionan el número n y su raíz cúbica r.

echemos un vistazo a algunos ejemplos.

también podemos definir un kth de la raíz de un número n; es decir,

En otras palabras, si un número n es igual a un número r elevado a la potencia de k, entonces el k-ésimo de la raíz de n es r. Algunos ejemplos se muestran a continuación.,

calcular raíces más allá de la raíz cuadrada mentalmente o a mano se vuelve cada vez más difícil; por lo tanto, en tales casos, generalmente se necesita una calculadora. Además, muy pocos números tienen raíces kth que son enteros, lo que significa que la mayoría de las raíces kth son números irracionales, que no se pueden escribir exactamente en forma decimal o fraccional. Trataremos principalmente con raíces cuadradas; sin embargo, ahora debe tener cierta familiaridad con otras raíces., Ahora también tenemos una base suficiente para permitirnos relacionar raíces con exponentes.

problema de práctica: evaluar la expresión en cada caso.

a. b. C.

solución: al igual que con el problema de la práctica anterior, estos números no requieren que use una calculadora, pero pueden requerir un pensamiento cuidadoso (y quizás un ensayo y error). En la Parte c, tenga en cuenta que 1 elevado a cualquier exponente (expresado como c) es 1.

a. b.,

c.

Exponentes Fraccionarios

Antes de considerar algunas reglas para tratar con los radicales, podemos aprender mucho acerca de ellos sólo en relación a los exponentes. Tenga en cuenta que usamos exponentes para explicar el significado de una raíz (y el símbolo radical):

podemos aplicar las reglas de exponentes a la segunda expresión, ., Recuerde la regla que se muestra a continuación:

volviendo a la expresión , reescribamos el lado izquierdo (n) utilizando la regla anterior y asumiendo que la regla funciona tanto para exponentes fraccionarios como para exponentes enteros (no tenemos ninguna razón para suponer lo contrario en este punto).,

tenga en cuenta que las expresiones entre paréntesis (r y ) deben ser iguales:

ahora, comparemos este resultado con la otra relación desde el principio de esta discusión en particular:

por lo tanto, una raíz cuadrada (radical) es lo mismo que un exponente fraccional-, en este caso. Podemos usar un razonamiento similar para mostrar que la raíz kth de un número n es la misma que n elevada a la potencia de .,

por lo tanto, podemos abordar las expresiones radicales en sus propios términos o como expresiones exponenciales. En algunos casos, escribir la expresión usando exponentes puede simplificar las matemáticas; en otros casos, seguir con la forma radical es mejor. En cualquier caso, ahora hemos descrito el significado de todos los exponentes, incluidos los valores positivos y negativos así como enteros y fraccionarios. Además, podemos utilizar las reglas para un producto o cociente elevado a un poder para mostrar cómo se distribuye el radical en tales casos.,

estas reglas pueden ser útiles para simplificar las expresiones radicales y para realizar operaciones aritméticas sobre radicales.

problema de práctica: evalúe cada una de las siguientes expresiones.

un. b. c.

Solución: En cada caso, se aplican las reglas de los radicales (o exponentes) para evaluar la expresión., En la Parte b, podemos dividir el exponente en un producto de un entero (2) y una fracción () para simplificar el cálculo del resultado.

un. b.

c.

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