o Radicală

o rădăcină Pătrată

o pătrat Perfect

o rădăcină Cub

Obiective

o să Înțeleagă semnificația unui radical simbol

o Fi în măsură să calculeze rădăcina pătrată precum si simplu mai mare-pentru rădăcini

o se Referă rădăcini de fracționare exponenți

o Aplice regulile de exponenți pentru a obține reguli pentru rădăcinile de produse și coeficienți

Vom analiza sensul de exponenții fracționare și le se referă la radicali. Un radical este un simbol care reprezintă o rădăcină particulară a unui număr., Acest simbol este prezentat mai jos.

deși acest simbol arată similar cu ceea ce este folosit în diviziunea lungă, un radical este diferit și are un înțeles foarte diferit. Radicalul, în sine, înseamnă o rădăcină pătrată. Rădăcina pătrată a unui număr n este scrisă după cum urmează.

rădăcina pătrată a lui n este definit ca un alt număr r astfel încât pătrat (puterea a doua) din r este egal cu n.

Să aruncăm o privire la câteva exemple specifice pentru a ilustra acest lucru oarecum obscur relație., Luați în considerare, de exemplu, numărul 4. În mod clar, , și astfel, rădăcina pătrată a 4 este 2. Simbolic,

mai jos sunt câteva exemple suplimentare.

exemplele de mai sus (1, 4, 9 și 16) se numesc pătrate perfecte, deoarece rădăcinile lor pătrate sunt întregi. Valorile fracționale au, de asemenea, rădăcini pătrate.,

în plus, putem calcula rădăcina pătrată a zero.

Astfel, putem calcula rădăcina pătrată a oricărui număr mai mare decât sau egal cu zero; totuși, nu putem calcula rădăcina pătrată a unui număr negativ. Rețineți din nou că rădăcina pătrată a unui număr n este un număr r astfel încât . Dacă n este negativ și vrem să găsim rădăcina pătrată a lui n (sau ), trebuie să găsim un număr r astfel încât este negativ., Dar știm că produsul a două numere negative este pozitiv, iar produsul a două numere pozitive este, de asemenea, pozitiv, după cum arată exemplele de mai jos.

de Asemenea, produsul de la zero și zero este zero, așa că am rămas în imposibilitatea de a găsi un număr al cărui pătrat (a doua putere, sau produsul dintre numărul și sine) este negativ. Astfel, considerăm că rădăcina pătrată a unui număr negativ este nedefinită., (De fapt, o întreagă ramură a matematicii este dedicată studierii rădăcinilor pătrate ale numerelor negative; dar este un domeniu real de studiu cu numeroase aplicații practice în fizică și inginerie, de exemplu.)

problemă practică: evaluați fiecare rădăcină pătrată.

soluție: în fiecare caz, determinați numărul n care, dacă este pătrat (ridicat la a doua putere), ar fi egal cu numărul sub radical. Nici unul dintre acestea necesită un calculator, deși s-ar putea găsi că un calculator vă ajută să verificați răspunsul.

c. d.,

în General, evaluarea rădăcini pătrate necesită un calculator. Există totuși metode lungi („de mână”) pentru calcularea unei rădăcini pătrate, deși pot fi plictisitoare. În plus, rădăcinile pătrate ale multor numere (inclusiv numere întregi care nu sunt pătrate perfecte) sunt iraționale., Astfel, calculatoarele (inclusiv computerele) și metodele lungi de calcul al rădăcinii pătrate pot da Doar rezultate aproximative; numerele reale au un număr infinit de zecimale și nu pot fi scrise ca o fracție cu numere întregi în numărător și numitor. Astfel, în interesul matematicii exacte, lăsarea numerelor în formă radicală (în loc să scrie o zecimală aproximativă) este uneori preferabilă. De exemplu, am putea prefera să scrie în loc de 1.414, care este doar o aproximare la trei zecimale.,mai sus, am discutat exclusiv rădăcinile pătrate și am observat că simbolul radical indică el însuși rădăcina pătrată. În unele cazuri, însă, am putea fi interesați să calculăm alte rădăcini de numere. Pentru a reitera, rădăcina pătrată a lui n este un număr r, unde se aplică următoarele relații.

putem calcula, de exemplu, a treia rădăcină (numită și rădăcina cubului) a unui număr n. pentru a reprezenta a treia rădăcină, adăugăm un număr mic 3 lângă radical, așa cum se arată în relațiile de mai jos., Aceste expresii se referă la numărul n și la rădăcina cubului r.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

putem defini, de asemenea, un general kth rădăcină a unui număr n,care este,

cu alte cuvinte, daca un numar n este egală cu un număr r ridicat la puterea k, atunci kth rădăcină de n e r. Alte exemple sunt prezentate mai jos.,

Calcularea rădăcini dincolo de rădăcina pătrată mental sau de mână devine din ce în ce mai dificilă; de aceea, în astfel de cazuri, un calculator este în general necesară. În plus, foarte puține numere au rădăcini kth care sunt întregi, ceea ce înseamnă că majoritatea rădăcinilor kth sunt numere iraționale, care nu pot fi scrise exact în formă zecimală sau fracționată. Ne vom ocupa în primul rând de rădăcinile pătrate; acum, totuși, ar trebui să aveți o anumită familiaritate cu alte rădăcini., Acum avem, de asemenea, o bază suficientă pentru a ne permite să relaționăm rădăcinile cu exponenții.

problemă practică: evaluați expresia în fiecare caz.

un. b. c.

Soluție: Ca cu practica anterioară problema, aceste numere nu aveți nevoie pentru a utiliza un calculator, dar necesită o gândire atentă (și, probabil, unele încercare și eroare). În partea c, rețineți că 1 ridicat la orice exponent (exprimat ca c) este 1.

c.

Fracționată Exponenți

Înainte de a lua unele reguli pentru a face cu radicali, putem învăța multe despre ele doar prin raportarea lor la exponenți. Rețineți că am folosit exponenți în a explica sensul unui root (și radicale simbol):

putem să aplice regulile de exponenți la cea de-a doua expresie, ., Reamintim regula prezentată mai jos:

Revenind la expresia , să rescrie partea stângă (n) folosind regula de mai sus și de a face presupunerea că statul lucrează pentru fracționată exponenți precum și întreg exponenți (avem nici un motiv să presupunem, de altfel, la acest punct).,

Rețineți că expresiile din paranteze (r și ) trebuie să fie egale:

Acum, hai compara acest rezultat cu alte relație de la începutul acestei discutii:

Astfel, o rădăcină pătrată (radical), este la fel ca o fracționare exponent-, în acest caz. Putem folosi raționamente similare pentru a arăta că rădăcina kth a unui număr n este aceeași cu n ridicată la puterea .,

astfel, putem aborda expresii radicale pe termeni proprii sau ca expresii exponențiale. În unele cazuri, scrierea expresiei folosind exponenți poate simplifica matematica, în alte cazuri, lipirea cu forma radicală este mai bună. În orice caz, am descris acum semnificația tuturor exponenților, incluzând atât valori pozitive, cât și negative, precum și valori întregi și fracționare. În plus, putem folosi regulile pentru un produs sau un coeficient ridicat la o putere pentru a arăta modul în care radicalul este distribuit în astfel de cazuri.,

Aceste reguli pot fi de ajutor în simplificarea expresiilor și în efectuarea de operații aritmetice pe radicali.

problemă practică: evaluați fiecare dintre următoarele expresii.

un. b. c.

Soluție: În fiecare caz, se aplică regulile de radicali (sau puteri) pentru a evalua expresia., În partea b, putem împărți exponentul într-un produs al unui număr întreg (2) și al unei fracții () pentru a simplifica calculul rezultatului.

c.