Com o carregamento de um diagrama desenhado o próximo passo é encontrar o valor da força cortante e momento, em qualquer ponto ao longo do elemento. Para um feixe horizontal uma maneira de realizar isso é em qualquer ponto para “cortar” a extremidade direita do feixe.o exemplo abaixo inclui uma carga pontual, uma carga distribuída e um momento aplicado. Os suportes incluem suporte hinged e um suporte final fixo., O primeiro desenho mostra o feixe com as forças aplicadas e restrições de deslocamento. O segundo desenho é o diagrama de carga com os valores de reação dados sem os cálculos mostrados ou o que a maioria das pessoas chamam de diagrama de corpo livre. O terceiro desenho é o diagrama da força de cisalhamento e o quarto desenho é o diagrama do momento Flector. Para o diagrama de momento de flexão foi utilizada a Convenção de sinais normal. Abaixo do diagrama de momento estão as funções passo a passo para a força de cisalhamento e momento de flexão com as funções expandidas para mostrar os efeitos de cada carga nas funções de cisalhamento e flexão.,

Passo 1: Calcular as forças de reação e momentsEdit

O primeiro passo como obter o momento fletor e a força de cisalhamento equações é determinar as forças de reação. Isto é feito usando um diagrama de corpo livre de todo o feixe.

O feixe tem três forças de reação, Ra, Rb nos dois suportes e Rc na extremidade fechada. A extremidade fechada também tem um par de reação Mc., Estas quatro quantidades têm que ser determinadas usando duas equações, o equilíbrio de forças no feixe e o equilíbrio de momentos no feixe. Quatro incógnitas não podem ser encontradas dadas duas equações independentes nestas variáveis desconhecidas e, portanto, o feixe é estaticamente indeterminado. Uma maneira de resolver este problema é usar o princípio da superposição linear e quebrar o problema na superposição de um número de problemas estaticamente determinados., As condições de contorno extra nos suportes têm de ser incorporadas na solução sobreposta para que a deformação de todo o feixe seja compatível.

do diagrama do corpo livre de todo o feixe temos as duas equações de equilíbrio

∑ F = 0 , ∑ m a = 0 . {\displaystyle \sum F=0~,~~\sum M_{a}=0\,.}

de Somar forças, temos

− 10 − ( 1 ) ( 15 ) + R a + R b + R c = 0 {\displaystyle -10-(1)(15)+R_{a}+R_{b}+R_{c}=0}

e somando os momentos em torno da extremidade livre (A), temos

( R ) ( 10 ) + ( R-b ) ( 25 ) + ( R c ) ( 50 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 17.5 ) − 50 + M c = 0 ., {\displaystyle (R_{a})(10)+(R_{b})(25)+(R_{c})(50)-(1)(15)(17.5)-50+M_{c}=0\,.}

Nós podemos resolver essas equações para Rb e Rc, nos termos da Ra e Mc :

R b = 37.5 − 1.6 R a + 0.04 M c {\displaystyle R_{b}=37.5-1.6R_{a}+0.04M_{c}}

e

R c = − 12.5 + 0.6 R a − 0.04 M c . {\displaystyle R_{c}=-12, 5+0. 6R_{a}-0. 04M_{c}\,. se somarmos momentos sobre o primeiro suporte da esquerda do feixe temos ( 10 ) ( 10 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R B) (15) + (R c) (40) − 50 + M C = 0 . {\displaystyle (10)(10)-(1)(15)(7.5)+(R_{b})(15)+(R_{c})(40)-50+M_{c}=0\,.,}

Se ligarmos as expressões para Rb e Rc obtemos a identidade trivial 0 = 0, o que indica que esta equação não é independente das duas anteriores. Da mesma forma, se levarmos momentos em torno do segundo suporte, temos

( 10) (25) – (r a ) ( 15 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R c) (25) − 50 + M C = 0 . {\displaystyle (10) (25)-(R_{a})(15)+(1)(15)(7.5)+(R_{C}) (25) -50+M_{c}=0\,. mais uma vez descobrimos que esta equação não é independente das duas primeiras equações., Poderíamos também tentar calcular momentos em torno da extremidade fechada do feixe para obter ( 10) (50) – (R a) (40) – (R b ) ( 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 32.5 ) − 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10)(50)-(R_{a})(40)-(R_{b})(25)+(1)(15)(32.5)-50+M_{c}=0\,. esta equação também não é linearmente independente das outras duas equações. Portanto, o feixe é estaticamente indeterminado e teremos que encontrar os momentos de flexão em segmentos do feixe como funções de Ra E Mc.,

Passo 2: quebrar o feixe em segmentsEdit

após as forças de reação serem encontradas, você então quebra o feixe em pedaços. A localização e o número de forças externas no membro determinam o número e a localização dessas peças. A primeira peça começa sempre de uma extremidade e termina em qualquer lugar antes da primeira força externa.,

Passo 3: Calcular forças de cisalhamento e momentos pieceEdit

Deixe V1 M1 e ser a força cortante e momento fletor, respectivamente, em uma seção transversal do primeiro segmento do feixe. À medida que a seção do feixe se move em direção ao ponto de aplicação da força externa, as magnitudes da força e momento do cisalhamento podem mudar. Isto faz com que a força de cisalhamento e momento Flector uma função da posição da seção transversal (neste exemplo x).,

somando as forças ao longo deste segmento e somando os momentos, as equações para a força de corte e momento de flexão são obtidas. Estas equações são:

∑ F = − 10 − V 1 = 0 {\displaystyle \sum F=-10-V_{1}=0}

E

∑ M A = − V 1 x + M 1 = 0 . {\displaystyle \sum M_{a}=-V_{1}x+M_{1}=0\,.

portanto,

V 1 = − 10 E M 1 = − 10 x. {\displaystyle V_{1}=-10\quad {\text{and}}\quad M_{1}= – 10x\,.,}

Passo 4: Calcular forças de cisalhamento e momentos – segunda pieceEdit

a Tomar o segundo segmento, terminando em qualquer lugar antes de a segunda força interna, temos

∑ F = − 10 + R − ( 1 ) ( x − 10 ) − V 2 = 0 {\displaystyle \soma F=-10+R_{a}-(1)(x-10)-V_{2}=0}

e

∑ M A = R a ( 10 ) − ( 1 ) ( x − 10 ) ( x + 10 ) 2 − V 2 x + M 2 = 0 . {\displaystyle \sum M_{A}=R_{a}(10)-(1)(x-10){\frac {(x+10)}{2}}-V_{2}x+M_{2}=0\,.,}

portanto,

v 2 = R A-x E M 2 = – 50 + R A (x − 10 ) − x 2 . {\displaystyle V_{2}=R_{a}-x\quad {\text{e}}\quad M_{2}=-50+R_{a}(x-10)-{\frac {x^{2}}{2}}\,.

Notice that because the shear force is in terms of x, the moment equation is squared. Isso se deve ao fato de que o momento é a integral da força de cisalhamento. A parte complicada deste momento é a força distribuída. Uma vez que a força muda com o comprimento do segmento, a força será multiplicada pela distância após 10 pés. seja., (x-10) a localização do momento é definida no meio da força distribuída, que também está mudando. É daqui que (x+10)/2 é derivado.

alternativamente, podemos tomar momentos sobre a secção transversal para obter

∑ m a = 10 x − R A ( x − 10 ) + ( 1 ) ( x − 10 ) ( x − 10 ) 2 + m 2 = 0 . {\displaystyle \sum M_{A}=10x-R_{a}(x-10)+(1)(x-10){\frac {(x-10)}{2}}+M_{2}=0\,.}

novamente, neste caso,

M 2 = − 50 + R A ( x − 10 ) − x 2 . {\displaystyle M_{2}=-50+R_{a} (x-10) – {\frac {x^{2}}{2}}\,.,}

Passo 5: Calcular forças de cisalhamento e momentos – terceiro pieceEdit

de Tomar o terceiro segmento, e somando forças, temos

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 3 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{3}=0}

, e de soma de momentos sobre a seção transversal, obtemos

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) + M 3 = 0 . {\displaystyle (10)(x)-R_{a}(x-10)-R_{b}(x-25)+(1)(15)(x-17.5)+M_{3}=0\,.,}

Portanto

V 3 = 25 − R − R b = R c {\displaystyle V_{3}=25-R_{a}-R_{b}=R_{c}}

e

M 3 = 262.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = − 675 + R ( 30 − 0,6 x ) − M c ( 1 − 0.04 x ) + 12,5 x . {\displaystyle M_{3}=262.5+R_{a}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-675+R_{a}(30-0.6 x)-M_{c}(1-0.04 x)+12,5 x\,. note que a força distribuída pode agora ser considerada uma força de 15 kips atuando no meio de onde está posicionada.,

Passo 6: Calcular forças de cisalhamento e momentos – quarta pieceEdit

de Tomar o quarto e último segmento, um equilíbrio de forças dá

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 4 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{4}=0}

e o equilíbrio de momentos em torno da seção transversal leva a

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) − 50 + M 4 = 0 . {\displaystyle (10)(x)-R_{a}(x-10)-R_{b}(x-25)+(1)(15)(x-17.,5) -50+M_{4}=0\,.}

a Solução para V4 e M4, temos

V 4 = 25 − R − R b = R c {\displaystyle V_{4}=25-R_{a}-R_{b}=R_{c}}

e

M 4 = 312.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = 625 + R ( 30 − 0,6 x ) + M c ( 0.04 x − 1 ) + 12,5 x . {\displaystyle M_{4}=312.5+R_{a}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-625+R_{a}(30-0.6 x)+M_{c}(0.04 x-1)+12,5 x\,. ao traçar cada uma destas equações nos intervalos pretendidos, obtém-se o momento de flexão e diagramas de força de cisalhamento para este feixe. Em particular, na extremidade fechada do feixe, x = 50 e temos M 4 = M C = – 937.5 + 40 R a + 25 R B., {\displaystyle M_{4}=M_{c}=-937. 5+40R_{a}+25R_{B}\,.}

Step 7:Compute deflections of the four segmentsEdit

We now use the Euler-Bernoulli beam theory to compute the deflections of the four segments. A equação diferencial que relaciona a deflexão do feixe de laser (w) para o momento fletor (M) é

d 2 w d x 2 = − M E I {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\frac {M}{EI}}}

, onde E é o módulo de Young e I é a área de momento de inércia da viga de seção transversal., 2 = 1 24 E I x 2 + C 3 + C 4 x w 3 = 1 100 E I + C 5 + C 6 x w 4 = 1 100 E I + C 7 + C 8 x {\displaystyle {\begin{alinhado}w_{1}&={\frac {5}{3EI}}\,x^{3}+C_{1}+C_{2}\,x\\w_{2}&={\frac {1}{24EI}}\,x^{2}\,\left+C_{3}+C_{4}\x\\w_{3}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{5}+C_{6}\,x\\w_{4}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{7}+C_{8}\x\end{alinhado}}}

Passo 8: Aplique o limite de conditionsEdit

Agora vamos aplicar o deslocamento condições de contorno para os quatro segmentos para determinar as constantes de integração.,

para o quarto segmento do feixe, consideramos as condições de limite na extremidade fechada onde w4 = dw/dx = 0 a x = 50. Resolução para C7 e C8 dá

C 7 = – 1250 3 e I ( − 625 + M C + 30 r A ) E C 8 = 125 e i (- 125 + 6 r a ) . {\displaystyle C_{7}=-{\frac {1250}{3EI}}(-625+M_{c}+30R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{8}={\frac {125}{EI}}(-125+6R_{a})\,. portanto, podemos expressar w4 como w 4 = – 1 300 e i (x − 50 ) 2 . {\displaystyle w_{4}= – {\frac {1}{300EI}} (x-50)^{2}\left\,.}

Now, w4 = w3 at x = 37.5 (the point of application of the external couple)., Também, as encostas das curvas de deflexão neste ponto são as mesmas, isto é, dw4 / dx = dw3 / dx. Usando estas condições limite e resolvendo para C5 e C6, temos

C 5 = − 625 12 E I (−5675 + 8 M C + 240 R A ) E C 6 = 250 e i (3 r a-70 ) . {\displaystyle C_{5}=-{\frac {625}{12EI}}(-5675+8M_{c}+240R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{6}={\frac {250}{EI}}\left(3R_{a}-70\right)\,.}

substituição destas constantes na expressão para w3 dá-nos

w 3 = 1 300 e I. {\displaystyle {\begin{alinhado}w_{3}={\frac {1}{300EI}}{\Bigl }\,.,\end{alinhado}}}

similarmente, no suporte entre os segmentos 2 e 3 onde x = 25, w3 = w2 e dw3/DX = dw2/dx. Usando estes e resolvendo para C3 E C4 dá

C 3 = − 3125 24 E I ( − 1645 + 4 m C + 64 R A ) E C 4 = 25 12 e i ( − 40325 + 6 M C + 120 R A ) . {\displaystyle C_{3}=-{\frac {3125}{24EI}}(-1645+4M_{c}+64R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{4}={\frac {25}{12EI}}\left(-40325+6M_{c}+120R_{a}\right)\,. 2 = 1 24 e I. {\displaystyle {\begin{alinhado}w_{2}={\frac {1}{24EI}}{\Bigl }\,.,\end{alinhado}}}

no suporte entre os segmentos 1 e 2, x = 10 e w1 = w2 e dw1/DX = dw2/dx. Estas condições limite dão − nos

C 1 = − 125 24 E I (−40145 + 100 M C + 1632 R A ) E C 2 = 25 4 e I (- 1315 + 2 M C + 48 R a ) . {\displaystyle C_{1}=-{\frac {125}{24EI}}(-40145+100M_{c}+1632R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{2}={\frac {25}{4EI}}(-1315+2M_{c}+48R_{a})\,. por conseguinte, w 1 = 5 24 e I. {\displaystyle w_{1}={\frac {5}{24EI}}\left\,.}

Passo 9: resolver para Mc e Radit

porque W2 = 0 em x = 25, podemos resolver para Mc em termos de Ra para obter

M C = 175 − 7.,5 R A. {\displaystyle M_{c}=175-7. 5R_{a}\,.}

Also, since w1 = 0 at x = 10, expressing the deflection in terms of Ra (after eliminating Mc) and solving for Ra, gives

r a = 25.278 ⟹ m c = − 14.585 . {\displaystyle R_{a}=25. 278\quad \implica \quad M_{c}=-14. 585\,.,}

Passo 10: Parcela do momento fletor e da força cortante diagramsEdit

agora podemos calcular as reações Rb e Rc, os momentos fletores M1, M2, M3, M4, e as forças de cisalhamento V1, V2, V3, V4. Estas expressões podem então ser plotadas como uma função do comprimento para cada segmento.,

relação entre força cisalhadora e momento Flector

é importante notar a relação entre os dois diagramas. O diagrama de momento é uma representação visual da área sob o diagrama de força de cisalhamento. Ou seja, o momento é a integral da força de cisalhamento. Se a força de cisalhamento é constante ao longo de um intervalo, a equação do momento será em termos de x (linear). Se a força de cisalhamento for linear ao longo de um intervalo, a equação do momento será quadrática (parabólica).

outra nota nos diagramas de força cisalhadora é que eles mostram onde a força externa e momentos são aplicados., Sem forças externas, as funções de trechos devem anexar e não mostrar descontinuidade. As descontinuidades nos grafos são a magnitude exata da força externa ou dos momentos externos que são aplicados. Por exemplo, em x = 10 no diagrama de força de cisalhamento, há um intervalo entre as duas equações. Esta diferença vai de -10 a 15.3. O comprimento deste intervalo é de 25,3, a magnitude exata da força externa naquele ponto. Na secção 3 do diagrama do momento, há uma descontinuidade de 50. Isto é a partir do momento aplicado de 50 na estrutura., Os valores máximo e mínimo nos gráficos representam as forças e momentos máximos que este feixe terá nestas circunstâncias.