O princípio do trabalho e energia cinética (também conhecido como o trabalho–energia princípio) afirma que o trabalho realizado por todas as forças que agem sobre uma partícula (o trabalho da força resultante) é igual a mudança na energia cinética da partícula., Isto é, o trabalho W realizado pela força resultante em uma partícula é igual a mudança na energia cinética das partículas E k {\displaystyle E_{k}} ,

W = ∆ E k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W=\Delta E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}} ,

A derivação do trabalho–energia princípio começa com a segunda lei de Newton do movimento e a força resultante sobre uma partícula. Computation of the scalar product of the forces with the velocity of the particle evaluates the instantaneous power added to the system.,

restrições definem a direção de movimento da partícula, garantindo que não há componente de velocidade na direção da força de restrição. Isto também significa que as forças de restrição não acrescentam ao poder instantâneo. A integral de tempo desta equação escalar resulta do trabalho da energia instantânea, e da energia cinética do produto escalar da velocidade e aceleração. O fato de que o princípio da energia–trabalho elimina as forças de restrição subjacentes à mecânica Lagrangiana.

esta secção centra–se no princípio da energia-trabalho, uma vez que se aplica à dinâmica das partículas., Em sistemas mais gerais, o trabalho pode mudar a energia potencial de um dispositivo mecânico, a energia térmica em um sistema térmico, ou a energia elétrica em um dispositivo elétrico. O trabalho transfere energia de um lugar para outro ou de uma forma para outra.derivação

para uma partícula que se move ao longo de uma linha reta

no caso da força resultante F é constante em ambas as dimensões e direção, e paralela à velocidade da partícula, a partícula está se movendo com aceleração constante a ao longo de uma linha reta., A relação entre a força resultante e a aceleração é dada pela equação F = ma (segunda lei de Newton), e o deslocamento de partículas de s pode ser expresso pela equação

s = v 2 2 − v 1 2 2 {\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}

o que se segue a partir de v 2 2 = v 1 2 + 2 s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2como} (ver Equações de movimento).

O trabalho da força líquida é calculado como o produto da sua magnitude e do deslocamento de partículas., = m s = m ( v 2 2 − v 1 2 2 s ) s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = ∆ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}

No caso geral de movimento retilíneo, quando a força resultante F não é constante em magnitude, mas é constante na direção, e em paralelo à velocidade da partícula, o trabalho deve ser integrada ao longo do caminho da partícula:

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m v d t = m ∫ t 1 t 2 v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m ( v 2 2 − v 1 2 ) ., {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\, F vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \over dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}

Geral derivação do trabalho–energia teorema para um particleEdit

Para qualquer força resultante agindo sobre uma partícula movendo-se ao longo de qualquer caminho curvilíneo, pode ser demonstrado que o seu trabalho é igual a mudança na energia cinética da partícula por uma simples derivação análoga à equação acima.,\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}} d v 2 d t = d ( v ⋅ v ) d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 a ⋅ v {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} } .,

a parte restante da derivação acima é apenas cálculo simples, o mesmo que no caso rectilinear precedente.derivação para uma partícula em movimento limitado

na dinâmica de partículas, uma fórmula igualando trabalho aplicado a um sistema para sua mudança na energia cinética é obtida como uma primeira integral da Segunda Lei de movimento de Newton. É útil notar que a força resultante usada nas leis de Newton pode ser separada em forças que são aplicadas à partícula e forças impostas por restrições ao movimento da partícula., Notavelmente, o trabalho de uma força de restrição é zero, portanto, apenas o trabalho das forças aplicadas precisa ser considerado no princípio de Trabalho–Energia.para ver isso, considere uma partícula P que segue a trajetória X(t) com uma força F atuando sobre ela. Isolar a partícula a partir do seu ambiente para expor restrição de forças R e, em seguida, a Lei de Newton toma a forma

F + R = m X , {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\screen {\mathbf {X} }},}

, onde m é a massa da partícula.

vector formulationEdit

Note que n Pontos acima de um vector indica a sua n-ésima derivada Temporal.,O produto escalar de cada lado da lei de Newton com o vetor velocidade de rendimentos

F ⋅ X = m X ⋅ X , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\screen {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

devido a restrição de força é perpendicular à velocidade da partícula. Integrar esta equação ao longo da sua trajetória desde o ponto X(t1) até o ponto X(t2) para obter

∫ T 1 T 2 f ⋅ X d t = m ∫ t 1 T 2 X .X D. {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\screen {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt., o lado esquerdo desta equação é o trabalho da força aplicada enquanto atua sobre a partícula ao longo da trajetória do tempo t1 ao tempo t2. Isto também pode ser escrito como W = ∫ t 1 T 2 f ⋅ X d t = ∫ X ( t 1 ) X (t 2 ) F .d X. {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}

esta integral é computada ao longo da trajetória X(t) da partícula e é, portanto, dependente do caminho.,

O lado direito da primeira integral das equações de Newton pode ser simplificada usando a seguinte identidade

1 2 d d t ( X ⋅ X ) = X ⋅ X , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\screen {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

(consulte a regra do produto para derivação).,e is defined by the scalar quantity,

K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}

Tangential and normal componentsEdit

It is useful to resolve the velocity and acceleration vectors into tangential and normal components along the trajectory X(t), such that

X ˙ = v T and X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N , {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}

where

v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ ., {\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}

em Seguida, o produto escalar da velocidade com aceleração na segunda lei de Newton toma a forma

Δ K = m ∫ t 1 t 2 v v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) , {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}

, onde a energia cinética de uma partícula é definida pela quantidade escalar,

K = m 2 v 2 = m 2 X ⋅ X ., {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}

o resultado é o princípio da energia de trabalho para a dinâmica de partículas,

W = Δ K. {\displaystyle W = \ Delta K.\! esta derivação pode ser generalizada a sistemas corporais rígidos arbitrários.

movendo-se em linha recta (derrapagem para paragem)Edit

considere o caso de um veículo a mover-se ao longo de uma trajectória horizontal recta sob a acção de uma força motriz e gravidade que somam a F. As forças de restrição entre o veículo e a estrada definem R, e temos

F + R = M X., {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {r} =m{\ddot {\mathbf {X}}}}. F x v = m v V. {\displaystyle F_{x}v=m {\dot {V}} v.}

integração de ambos os lados produz

∫ T 1 T 2 f x v d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}

Se Fx é constante ao longo da trajetória, então a integral da velocidade é Distância, então

F x (d (t 2) − d ( t 1)) = m 2 v 2 ( t 2) – m 2 v 2 ( t 1). {\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1})., como exemplo, considere um carro derrapando para uma parada, onde k é o coeficiente de atrito e W é o peso do carro. Então a força ao longo da trajetória é Fx = – kW. A velocidade v do carro pode ser determinada a partir do comprimento s da derrapagem usando o princípio da energia de trabalho, k W S = W 2 g v 2 , ou v = 2 k S G. {\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}} v^{2},\quad {\mbox{or}}\quad v = {\sqrt {2ksg}}}.}

Observe que essa fórmula usa o fato de que a massa do veículo é m = W/g.

Acostamento para baixo de uma estrada de montanha (gravity racing)Editar

Considere o caso de um veículo que começa em repouso e de costas para baixo de uma estrada de montanha, o trabalho-energia princípio ajuda a calcular a distância mínima que o veículo percorre para chegar a uma velocidade V, de dizer a 60 mph (88 fps). A resistência ao rolamento e a resistência ao ar Irão abrandar o veículo, pelo que a distância real será maior do que se estas forças forem negligenciadas.,deixe a trajetória do veículo seguindo a estrada ser X (t), que é uma curva em espaço tridimensional. A força que atua sobre o veículo que o empurra para a estrada é a força constante da gravidade F = (0, 0, W), enquanto a força da estrada sobre o veículo é a força de restrição da Segunda Lei de R. Newton rende,

F + R = M X. {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {r} =m{\ddot {\mathbf {X}}}}.}

O produto escalar desta equação com a velocidade, V = (vx, vy, vz), rendimentos

W V z = m V, {\displaystyle Wv_{z}=m {\dot {V}}V,}

Onde V é a magnitude de V., As forças de restrição entre o veículo e a estrada cancelam desta equação porque R ⋅ V = 0, o que significa que eles não fazem nenhum trabalho.Integrar ambos os lados para obter

∫ T 1 T 2 W v z d t = m 2 V 2 (t 2) – m 2 V 2 ( t 1). {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}). a força de peso W é constante ao longo da trajetória e a integral da velocidade vertical é a distância vertical, portanto, W Δ z = m 2 V 2 . {\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}} V^{2}. recordar que V(t1)=0., Note-se que este resultado não depende da forma da estrada seguida pelo veículo.

a fim de determinar a distância ao longo da estrada assumir o downgrade é 6%, que é uma estrada íngreme. Isto significa que a altitude diminui 6 pés por cada 100 pés percorridos—para ângulos tão pequenos, as funções do pecado e do tan são aproximadamente iguais. Portanto , a distância s em pés abaixo de um grau de 6% para atingir a velocidade V é pelo menos

s = Δ z 0.06 = 8.3 V 2 g, ou s = 8.3 88 2 32.2 ≈ 2000 pés . {\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0, 06}}=8, 3{\frac {v^{2}}} {g}},\quad {\mbox{or}}\quad s=8.,3 {\frac {88^{2}}{32.2}}\aprox 2000 {\mbox{ft}. esta fórmula usa o fato de que o peso do veículo é W = mg.