uma das perguntas mais comuns que os leitores deste arquivo fazem é: quem descobriu zero? Por que então não escrevemos um artigo sobre zero como um dos primeiros no arquivo? A razão deve-se essencialmente à dificuldade de responder à pergunta de forma satisfatória. Se alguém tivesse inventado o conceito de zero, que todos então viam como uma brilhante inovação para entrar na matemática a partir desse momento, a pergunta teria uma resposta satisfatória, mesmo que não soubéssemos qual gênio o inventou., O registro histórico, no entanto, mostra um caminho completamente diferente em direção ao conceito. Zero faz aparições sombrias apenas para desaparecer de novo quase como se os matemáticos estivessem procurando por ele, mas não reconheciam seu significado fundamental mesmo quando o viam.
a primeira coisa a dizer sobre zero é que existem dois usos de zero que são extremamente importantes, mas são um pouco diferentes. Um uso é como um indicador de lugar vazio em nosso sistema de número de valor de lugar. Assim, em um número como 2106 o zero é usado de modo que as posições dos 2 e 1 estão corretas., Claramente 216 significa algo bem diferente. O segundo uso de zero é como um número em si na forma que nós o usamos como 0. Há também aspectos diferentes de zero dentro destes dois usos, a saber, o conceito, a notação, e o nome. (Nosso nome “zero “deriva, em última análise, do árabe sifr que também nos dá a palavra”cifra”.)
nenhum dos usos acima tem uma história facilmente descrita. Simplesmente não aconteceu que alguém inventou as ideias, e então todos começaram a usá-las. Também é justo dizer que o número zero está longe de ser um conceito intuitivo., Os problemas matemáticos começaram como problemas “reais” ao invés de problemas abstratos. Os números nos primeiros tempos históricos foram pensados de forma muito mais concreta do que os conceitos abstratos que são os nossos números de hoje. Há saltos mentais gigantes de 5 cavalos para 5 “coisas” e, em seguida, para a idéia abstrata de “cinco”. Se os povos antigos resolvessem um problema sobre quantos cavalos um agricultor precisava então o problema não teria 0 ou -23 como resposta.,
pode-se pensar que uma vez que um sistema de número de valor de lugar veio à existência, então o 0 como um indicador de lugar vazio é uma idéia necessária, ainda que os babilônios tiveram um sistema de número de valor de lugar sem Esta característica por mais de 1000 anos. Além disso, não há absolutamente nenhuma evidência de que os babilônios sentiram que havia qualquer problema com a ambiguidade que existia. Notavelmente, os textos originais sobrevivem da era da matemática babilônica. Os babilônios escreveram em tábuas de argila, usando escrita cuneiforme., Os símbolos foram pressionados em placas de argila macia com a borda inclinada de um estilete e assim tinha uma aparência em forma de cunha (e, portanto, o nome Cuneiforme). Muitas tábuas de cerca de 1700 a. C. sobrevivem e podemos ler os textos originais. É claro que a sua notação para números era bem diferente da nossa (e não baseada em 10 mas em 60), mas para traduzir em nossa Notação eles não distinguiriam entre 2106 e 216 (o contexto teria que mostrar o que se pretendia)., Não foi até cerca de 400 a. C. que os babilônios colocaram dois símbolos de cunha no lugar onde nós colocaríamos zero para indicar o que se significava, 216 ou 21 ” 6.as duas cunhas não foram a única notação usada, no entanto, e em uma tábua encontrada em Kish, uma antiga cidade mesopotâmica localizada a leste da Babilônia no que é hoje o centro-sul do Iraque, uma notação diferente é usada. Esta Tábua, que data de cerca de 700 a. C., USA três ganchos para indicar um lugar vazio na notação posicional. Outros comprimidos datados aproximadamente ao mesmo tempo usam um único gancho para um lugar vazio., Há uma característica comum a este uso de marcas diferentes para denotar uma posição vazia. Este é o fato de que nunca ocorreu no final dos dígitos, mas sempre entre dois dígitos. Então, embora encontremos 21 “6, nunca encontramos 216”. É preciso partir do princípio de que o sentimento mais antigo de que o contexto era suficiente para indicar o que se pretendia ainda aplicar nestes casos.If this reference to context appears silly then it is worth noting that we still use context to interpret numbers today., Se eu pegar um ônibus para uma cidade próxima e perguntar Qual é a tarifa, então eu sei que a resposta “é três cinquenta” significa três libras e cinquenta pence. No entanto, se for dada a mesma resposta à pergunta sobre o custo de um voo de Edimburgo para Nova Iorque, então sei que 350 libras é o que se pretende.
podemos ver a partir disso que o uso precoce de zero para denotar um lugar vazio não é realmente o uso de zero como um número em tudo, meramente o uso de algum tipo de marca de pontuação de modo que os números tinham a interpretação correta.,agora os antigos gregos começaram suas contribuições para a matemática na época em que zero como um indicador de lugar vazio estava entrando em uso na matemática babilônica. Os gregos, no entanto, não adotaram um sistema de números posicionais. Vale a pena pensar o quão significativo este facto é. Como poderiam os brilhantes avanços matemáticos dos gregos não vê-los adotar um sistema de números com todas as vantagens que o sistema babilônico de valor de lugar possuía?, A verdadeira resposta a esta pergunta é mais sutil do que a simples resposta que estamos prestes a dar, mas basicamente as conquistas matemáticas gregas foram baseadas na geometria. Embora os elementos de Euclides contem um livro sobre a teoria dos números, ele é baseado na geometria. Em outras palavras, os matemáticos gregos não precisavam nomear seus números já que eles trabalhavam com números como comprimentos de linhas. Números que precisavam ser nomeados para registros foram usados por comerciantes, não matemáticos, e, portanto, nenhuma Notação inteligente foi necessária.agora houve exceções ao que acabamos de afirmar., As exceções foram os matemáticos que estavam envolvidos na gravação de dados astronômicos. Aqui encontramos o primeiro uso do símbolo que reconhecemos hoje como a notação de zero, pois os astrônomos gregos começaram a usar o símbolo O. há muitas teorias por que esta notação particular foi usada. Alguns historiadores favorecem a explicação de que é omicron, a primeira letra da palavra grega para nada, ou seja, “ouden”. Neugebauer, no entanto, rejeita esta explicação uma vez que os gregos já usaram omicron como um número – ele representava 70 (o sistema de Números gregos foi baseado em seu alfabeto)., Outras explicações oferecidas incluem o fato de que significa “obol”, uma moeda de quase nenhum valor, e que surge quando contadores foram usados para contar em uma placa de areia. A sugestão aqui é que quando um contador foi removido para deixar uma coluna vazia, ele deixou uma depressão na areia que se parecia com o. Ptolomeu no Almagest escrito por volta de 130 ad usa o sistema sexagesimal babilônico juntamente com o detentor de lugar vazio O., Por esta altura Ptolomeu está usando o símbolo tanto entre os dígitos como no final de um número e pode-se ser tentado a acreditar que pelo menos zero como um suporte de lugar vazio tinha chegado firmemente. Isto, porém, está longe do que aconteceu. Apenas alguns astrônomos excepcionais usaram a notação e ela cairia fora de Uso várias vezes antes de finalmente estabelecer-se. A idéia do lugar zero (certamente não pensado como um número por Ptolomeu que ainda o considerava como uma espécie de marca de pontuação) faz sua próxima aparição na matemática Indiana.,
A cena agora se move para a Índia, onde é justo dizer que os números e o sistema de números nasceram que evoluíram para os altamente sofisticados que usamos hoje. É claro que isso não quer dizer que o sistema Indiano não devia algo a sistemas anteriores e muitos historiadores da matemática acreditam que o uso indiano de zero evoluiu a partir de seu uso por astrônomos gregos. Além de alguns historiadores que parecem querer minimizar a contribuição dos Índios de uma forma muito irracional, há também aqueles que fazem reivindicações sobre a invenção Indiana de zero que parecem ir longe demais., For example Mukherjee in claims: –

… a concepção matemática de zero … estava também presente na forma espiritual de 17 000 anos atrás na Índia.

o que é certo é que por volta de 650AD o uso de zero como um número veio para a matemática Indiana. Os índios também usaram um sistema de valor de lugar e zero foi usado para denotar um lugar vazio. Na verdade, há evidências de um detentor de lugar vazio em números posicionais a partir de 200AD na Índia, mas alguns historiadores descartam estes como falsificações posteriores., Examinemos esta última utilização em primeiro lugar, uma vez que prossegue o desenvolvimento acima descrito.em cerca de 500AD Aryabhata desenvolveu um sistema de números que ainda não tem zero era um sistema posicional. Ele usou a palavra ” kha ” para posição e seria usado mais tarde como o nome para zero. Há evidências de que um ponto tinha sido usado em manuscritos indianos anteriores para denotar um lugar vazio na notação posicional. É interessante que os mesmos documentos às vezes também usaram um ponto para indicar um desconhecido onde poderíamos usar xxx., Matemáticos indianos mais tarde tinham nomes para zero em números posicionais, mas não tinham nenhum símbolo para ele. O primeiro registro do uso indiano de zero que é datado e acordado por todos para ser genuíno foi escrito em 876.temos uma inscrição numa tábua de pedra que contém uma data que se traduz em 876. A inscrição diz respeito à cidade de Gwalior, 400 km ao sul de Delhi, onde plantaram um jardim 187 por 270 hastas que produziriam flores suficientes para permitir que 50 grinaldas por dia fossem dadas ao templo local., Ambos os números 270 e 50 são denotados quase como eles aparecem hoje, embora o 0 é menor e ligeiramente elevado.agora chegamos a considerar a primeira aparição de zero como um número. Note-se, em primeiro lugar, que não é, de modo algum, um candidato natural para um número. Dos primeiros tempos os números são palavras que se referem a coleções de objetos. Certamente a idéia do número tornou-se cada vez mais abstrata e esta abstração então torna possível a consideração de números zero e negativos que não surgem como propriedades de coleções de objetos., É claro que o problema que surge quando se tenta considerar zero e negativos como números é como eles interagem em relação às operações da aritmética, adição, subtração, multiplicação e divisão. Em três livros importantes, os matemáticos indianos Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara tentaram responder a essas perguntas.Brahmagupta tentou dar as regras para a aritmética envolvendo números zero e negativos no século VII. Ele explicou que dado um número, então se você subtrai – lo de si mesmo você obtém zero., He gave the following rules for addition which involve zero: –

the sum of zero and a negative number is negative, the sum of a positive number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero.

Subtração é um pouco mais difícil:-

Um número negativo subtraído zero é positivo, um número positivo subtraído do zero, negativo, zero subtraído de um número negativo é negativo, zero subtraído de um número positivo é positivo, zero subtraído de zero é zero.,

Brahmagupta, em seguida, afirma que qualquer número multiplicado por zero é zero, mas lutas quando se trata de divisão:-

Um número positivo ou negativo, quando dividido por zero é uma fração com o zero no denominador. Zero dividido por um número negativo ou positivo é zero ou é expresso como uma fração com zero como numerador e a quantidade finita como denominador. Zero dividido por zero é zero.

realmente Brahmagupta está dizendo muito pouco quando ele sugere que NNN dividido por zero é N/0n/0n/0n. É óbvio que ele está a lutar aqui., Ele certamente está errado quando ele então afirma que zero dividido por zero é zero. No entanto, é uma tentativa brilhante da primeira pessoa que conhecemos que tentou estender a aritmética a números negativos e zero.em 830, cerca de 200 anos após Brahmagupta escrever sua obra-prima, Mahavira escreveu Ganita Sara Samgraha, que foi projetado como uma atualização do livro de Brahmagupta. Ele afirma corretamente que:-

… um número multiplicado por zero é zero, e um número permanece o mesmo quando zero é subtraído dele.,

However his attempts to improve on Brahmagupta’s statements on dividing by zero seem to lead him into error. Ele escreve: –

um número permanece inalterado quando dividido por zero.

Since this is clearly incorrect my use of the words “seem to lead him into error” might be seen as confusing. A razão para esta frase é que alguns comentaristas sobre Mahavira tentaram encontrar desculpas para sua afirmação incorreta.Bhaskara escreveu mais de 500 anos depois de Brahmagupta., Apesar da passagem do tempo, ele ainda está lutando para explicar a divisão por zero. He writes: –

A quantity divided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. Esta fração é chamada de quantidade infinita. Nesta quantidade que consiste do que tem zero para seu divisor, não há alteração, embora muitos possam ser inseridos ou extraídos; como nenhuma mudança ocorre no Deus infinito e imutável quando os mundos são criados ou destruídos, embora numerosas ordens de seres são absorvidas ou apresentadas.,

Então Bhaskara tentou resolver o problema escrevendo n0=∞\large\frac{n}{0}\normalsize = ∞0n=∞. À primeira vista, podemos ser tentados a acreditar que Bhaskara tem isso correto, mas é claro que ele não tem. Se isto fosse verdade então 0 × ∞ deve ser igual a cada número nnn, então todos os números são iguais. Os matemáticos indianos não conseguiam chegar ao ponto de admitir que não se podia dividir por zero. Bhaskara afirmou corretamente outras propriedades de zero, no entanto, como 02=00^{2} = 002=0, e √0=0√0 = 0√0=0.,

talvez devamos notar neste momento que havia outra civilização que desenvolveu um sistema de números de lugar-valor com um zero. Este foi o povo Maia que viveu na América central, ocupando a área que hoje é o sul do México, Guatemala e norte de Belize. Esta era uma civilização antiga, mas floresceu particularmente entre 250 e 900. Sabemos que em 665 eles usaram um sistema de números de lugar-valor para base 20 com um símbolo de zero. No entanto, o seu uso de zero vai mais longe do que isso e estava em uso antes de introduzir o sistema de números de lugar-valor., Trata-se de um feito notável, mas infelizmente não influenciou outros povos.
você pode ver um artigo separado sobre matemática Maia.o trabalho brilhante dos matemáticos indianos foi transmitido aos matemáticos islâmicos e árabes mais para o oeste. Ele veio em um estágio inicial para al-Khwarizmi escreveu Al’Khwarizmi sobre a arte Hindu do acerto de contas, que descreve o sistema de valor de lugar indiano de numerais com base em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0. Este trabalho foi o primeiro no que é agora Iraque a usar zero como um suporte de lugar na notação de base posicional., Ibn Esdras, no século XII, escreveu três tratados sobre números que ajudaram a trazer os símbolos indianos e idéias de frações decimais para a atenção de algumas das pessoas aprendidas na Europa. O Livro do número descreve o sistema decimal para inteiros com valores de posição da esquerda para a direita. Neste trabalho ibn Ezra usa zero que ele chama de galgal (ou seja, roda ou círculo). Um pouco mais tarde, no século XII, al-Samawal estava escrevendo:-

se subtraímos um número positivo de zero, o mesmo número negativo permanece. …, se subtraímos um número negativo de zero, o mesmo número positivo permanece.

as ideias indianas se espalharam para o leste da China, bem como para o oeste dos países islâmicos. Em 1247, o matemático chinês Qin Jiushao escreveu um tratado matemático em nove seções que usa o símbolo O para zero. Um pouco mais tarde, em 1303, Zhu Shijie escreveu espelho de Jade dos quatro elementos que novamente usa o símbolo O para zero.Fibonacci foi uma das principais pessoas a trazer essas novas ideias sobre o sistema de números para a Europa., Como os autores da escrita:-

uma importante ligação entre o sistema de números Hindu-árabe e a matemática Europeia é o matemático italiano Fibonacci.

No Liber Ábacos Ⓣ ele descreveu nove Indiano símbolos, juntamente com o sinal 0 para os Europeus em torno de 1200, mas não foi amplamente utilizado por um longo tempo depois disso. É significativo que Fibonacci não é ousado o suficiente para tratar 0 da mesma forma que os outros números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 já que ele fala do “sinal” zero enquanto os outros símbolos ele fala como números., Embora claramente trazer os números indianos para a Europa fosse de grande importância, podemos ver que, no seu tratamento de zero, ele não alcançou a sofisticação dos Índios Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara, nem dos matemáticos árabes e islâmicos, como al-Samawal.pode-se ter pensado que o progresso dos sistemas de números em geral, e zero em particular, teria sido constante a partir deste momento. No entanto, isso estava longe de acontecer. Cardan resolveu equações cúbicas e quarticas sem usar zero., Ele teria encontrado seu trabalho nos 1500’s muito mais fácil se ele tivesse tido um zero, mas não era parte de sua matemática. Por volta de 1600 o zero começou a entrar em uso generalizado, mas ainda só depois de encontrar muita resistência.é claro que ainda há sinais dos problemas causados por zero. Recentemente, muitas pessoas em todo o mundo celebraram o novo milénio em 1 de janeiro de 2000. É claro que eles celebraram a passagem de apenas 1999 anos desde quando o calendário foi estabelecido nenhum Ano zero foi especificado., Embora se possa perdoar o erro original, é um pouco surpreendente que a maioria das pessoas parecesse incapaz de compreender por que razão o terceiro milénio e o século XXI começam a 1 de janeiro de 2001. Zero ainda está a causar problemas!