2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.,

um número inferior a um quadrado (m-1) é sempre o produto de √m − 1 e √m + 1 (por exemplo, 8 × 6 é igual a 48, enquanto 72 é igual a 49). Assim, 3 é o único número primo a menos que um quadrado.

um número quadrado é também a soma de dois números triangulares consecutivos. A soma de dois números quadrados consecutivos é um número quadrado centrado. Cada quadrado ímpar é também um número octogonal centrado.

Outra propriedade de um número quadrado é que (exceto 0) tem um número ímpar de divisores positivos, enquanto outros números naturais têm um número ímpar de divisores positivos., Uma raiz inteira é o único divisor que se emparelha com ela mesma para produzir o número quadrado, enquanto outros divisores vêm em pares.

Lagrange’s four-square theorem states that any positive integer can be written as the sum of four or less perfect squares. Três quadrados não são suficientes para números da forma 4k(8m + 7). Um inteiro positivo pode ser representado como uma soma de dois quadrados precisamente se sua fatoração primária não contém potências ímpares de primos da forma 4k + 3. Isto é generalizado pelo problema de Waring.,

Na base 10, um número quadrado pode acabar apenas com os algarismos 0, 1, 4, 5, 6, ou 9, como a seguir:

• se os últimos dígitos de um número é 0, o seu quadrado termina em 0 (na verdade, os dois últimos dígitos deve ser 00);
• se os últimos dígitos de um número é o 1 ou 9, o seu quadrado termina em 1;
• se os últimos dígitos de um número é o 2 ou 8, o seu quadrado termina em 4;
• se os últimos dígitos de um número é o 3 ou 7, o seu quadrado termina em 9;
• se os últimos dígitos de um número é o 4 ou o 6, o seu quadrado termina em 6; e
• se os últimos dígitos de um número é o 5, a sua praça termina em 5 (na verdade, os dois últimos dígitos deve ser de 25).,

Na base 12, um número quadrado pode acabar apenas com praça de dígitos (como na base 12, um número primo, pode acabar apenas com o primeiro-dígitos ou 1), isto é, 0, 1, 4 ou 9, da seguinte forma:

• se um número é divisível, tanto por 2 e por 3 (que é divisível por 6), a sua praça termina em 0;
• se um número é divisível nem por 2, nem por 3, o seu quadrado termina em 1;
• se um número é divisível por 2, mas não por 3, o seu quadrado termina em 4;
• se um número não é divisível por 2, por 3, o seu quadrado termina em 9.,

regras similares podem ser dadas para outras bases, ou para dígitos anteriores (as dezenas em vez do algarismo das unidades, por exemplo). Todas essas regras podem ser provadas verificando um número fixo de casos e usando aritmética modular.

Em geral, se um primeiro-p divide um número quadrado m, então o quadrado de p também deve dividir m; se p falha para dividir m/p, então m é, definitivamente, não quadrado. Repetindo as divisões da frase anterior, conclui-se que cada primo deve dividir um dado quadrado perfeito um número par de vezes (incluindo possivelmente 0 vezes)., Assim, o número m é um número quadrado se e somente se, em sua representação canônica, todos os expoentes são pares.

Squarity testing can be used as alternative way in factorization of large numbers. Em vez de testar para divisibilidade, teste para squarity: para dado m e algum Número k, se k2-m é o quadrado de um inteiro N então k − n divide m. (Esta é uma aplicação da factorização de uma diferença de dois quadrados. Por exemplo, 1002-9991 é o quadrado de 3, portanto, consequentemente 100-3 divide 9991., Este ensaio é determinístico para divisores ímpares na gama de k − N A k + N, em que k cobre alguma gama de Números Naturais K ≥ √M.

um número quadrado não pode ser um número perfeito.

A soma dos n primeiros números de quadrados é

∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.,}

Os primeiros valores destas somas, a praça piramidal números, são: (a sequência A000330 na OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

A soma dos primeiros números inteiros ímpares, começando com um, é um quadrado perfeito: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc.

a soma dos N primeiros cubos é o quadrado da soma dos n primeiros inteiros positivos; este é o teorema de Nicômaco.,todas as quarta potências, sexta potências, oitava potências e assim por diante são quadrados perfeitos.