Assume que a função de utilidade pública para o consumidor é definida por U ( x , y ) {\displaystyle U(x,y)} , onde U é utilidade para o consumidor, x e y são bens. Em seguida, a taxa marginal de substituição pode ser computada através de diferenciação parcial, como se segue.,y função de equação, obtemos os seguintes resultados:

d U = ( ∂ U / ∂ x ) d x + ( ∂ U / ∂ y ) d y {\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy} , ou substituindo acima, o d U = M U x d x + M U y d y {\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy} , ou, sem perda de generalidade, o total derivada da função de utilidade com relação ao bom x, d U d x = M U x d x d x + M U y d y d x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} , que é, d U d x = M U x + M U y d y d x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} .,

através de qualquer ponto na curva de indiferença, dU/dx = 0, porque U = c, onde c é uma constante. Segue-se a partir da equação acima que:

0 = M U x + M U y d y d x {\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} , ou reorganizando − d y d x = M U x M U y {\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}

A taxa marginal de substituição é definida como o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença em qualquer mercadoria pacote de quantidades de interesse. Isso acaba por igualar a razão dos utilitários marginais:

M R S x y = M U x / m u y ., {\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}.\,} .,\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {orçamento} }} − ( M R S x y ) = − ( P x / P y ) {\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})} M R S x y = P x / P y {\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}

Portanto, quando o consumidor tem de escolher o seu utilitário maximizada cesta de mercado sobre o seu orçamento de linha,

M U x M U y = P x / P y {\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}} M U x / P x = M y U / P y {\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}

Este importante resultado nos diz que a utilidade é maximizada quando o consumidor, o orçamento é alocado de modo que a utilidade marginal por unidade de dinheiro gasto é igual para todos., Se esta igualdade não se mantivesse, o consumidor poderia aumentar a sua utilidade cortando os gastos no bem com menor utilidade marginal por unidade de dinheiro e aumentando os gastos no outro bem. Para diminuir a taxa marginal de substituição, o consumidor deve comprar mais do bem para o qual deseja que a utilidade marginal para cair (devido à Lei da utilidade marginal decrescente).