Con la carga diagrama dibujado el siguiente paso es encontrar el valor de la fuerza cortante y momento en cualquier punto a lo largo del elemento. Para una viga horizontal una forma de realizar esto es en cualquier punto «cortar» el extremo derecho de la viga.

el siguiente ejemplo incluye una carga puntual, una carga distribuida y un momento aplicado. Los soportes incluyen soportes con bisagras y un soporte de extremo fijo., El primer dibujo muestra la viga con las fuerzas aplicadas y las restricciones de desplazamiento. El segundo dibujo es el diagrama de carga con los valores de reacción dados sin los cálculos mostrados o lo que la mayoría de la gente llama un diagrama de cuerpo libre. El tercer dibujo es el diagrama de fuerza cortante y el cuarto dibujo es el diagrama de momento de flexión. Para el diagrama de momento de flexión se utilizó la Convención de signos normales. Debajo del diagrama de momento están las funciones escalonadas para la fuerza de corte y el momento de flexión con las funciones expandidas para mostrar los efectos de cada carga en las funciones de corte y flexión.,

Paso 1: Calcular las fuerzas de reacción y momentsEdit

El primer paso en la obtención del momento flector y la fuerza cortante ecuaciones para determinar las fuerzas de reacción. Esto se hace utilizando un diagrama de cuerpo libre de todo el haz.

el haz tiene tres fuerzas de reacción, Ra, Rb en los dos soportes y Rc en el extremo sujeto. El extremo sujetado también tiene una reacción pareja Mc., Estas cuatro cantidades tienen que ser determinadas usando dos ecuaciones, el equilibrio de fuerzas en el haz y el equilibrio de momentos en el haz. Cuatro incógnitas no se pueden encontrar dadas dos ecuaciones independientes en estas variables desconocidas y por lo tanto el haz es estáticamente indeterminado. Una manera de resolver este problema es utilizar el principio de superposición lineal y romper el problema en la superposición de un número de problemas estáticamente determinadas., Las condiciones de contorno adicionales en los soportes deben incorporarse a la solución superpuesta para que la deformación de toda la viga sea compatible.

del diagrama de cuerpo libre de toda la viga tenemos las dos ecuaciones de equilibrio

∑ F = 0 , ∑ M A = 0 . {\displaystyle \sum F=0~,~~\sum M_{a}=0\,.}

Suma de las fuerzas, tenemos

− 10 − ( 1 ) ( 15 ) + R a + R b + R c = 0 {\displaystyle -10-(1)(15)+R_{a}+R_{b}+R_{c}=0}

y sumando los momentos alrededor del extremo libre (a) tenemos

( R ) ( 10 ) + ( R b ) ( 25 ) + ( R c ) ( 50 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 17.5 ) − 50 + M c = 0 ., {\displaystyle (R_{a})(10)+(R_{b})(25)+(R_{c})(50)-(1)(15)(17.5)-50+M_{C} = 0\,.}

podemos resolver estas ecuaciones para Rb y Rc en términos de Ra y Mc :

R B = 37.5 − 1.6 R a + 0.04 m c {\displaystyle R_{B}=37.5-1.6R_{a}+0.04M_{c}}

y

R c = − 12.5 + 0.6 r a − 0.04 m c . {\displaystyle R_{c}=-12.5+0.6R_{a}-0.04M_{c}\,.}

si sumamos momentos sobre el primer soporte desde la izquierda de la viga tenemos

( 10 ) ( 10 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R b) (15) + (R c) (40) − 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10)(10)-(1)(15)(7.5)+(R_{b})(15)+(R_{c})(40)-50+M_{c}=0\,.,}

Si insertamos las expresiones para RB y Rc obtenemos la identidad trivial 0 = 0 que indica que esta ecuación no es independiente de las dos anteriores. Del mismo modo, si tomamos momentos alrededor del segundo soporte, Tenemos

( 10 ) ( 25 ) − ( r a ) ( 15 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R c) (25) − 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10)(25)-(R_{a})(15)+(1)(15)(7.5)+(R_{c}) (25) -50+m_{c}=0\,.}

una vez más encontramos que esta ecuación no es independiente de las dos primeras ecuaciones., También podríamos tratar de calcular momentos alrededor del extremo sujeto de la viga para obtener

( 10 ) ( 50 ) − ( r a ) ( 40 ) − ( R b ) ( 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 32.5 ) − 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10)(50)-(R_{a})(40) – (R_{b})(25)+(1)(15)(32.5)-50+M_{C} = 0\,.}

esta ecuación también resulta no ser linealmente independiente de las otras dos ecuaciones. Por lo tanto, la viga es estáticamente indeterminada y tendremos que encontrar los momentos de flexión en segmentos de la viga como funciones de Ra y Mc.,

Paso 2: romper el haz en segmentoseditar

después de encontrar las fuerzas de reacción, a continuación, romper el haz en pedazos. La ubicación y el número de fuerzas externas en el miembro determinan el número y la ubicación de estas piezas. La primera pieza siempre comienza desde un extremo y termina en cualquier lugar antes de la primera fuerza externa.,

Paso 3: Calcular las fuerzas cortantes y los momentos – en primer lugar pieceEdit

Deje que V1 y M1 ser la fuerza cortante y momento de flexión, respectivamente, en una sección transversal de la primera segmento de viga. A medida que la sección de la viga se mueve hacia el punto de aplicación de la fuerza externa, las magnitudes de la fuerza de corte y el momento pueden cambiar. Esto hace que la fuerza de corte y el momento de flexión sean una función de la posición de la sección transversal (En este ejemplo x).,

sumando las fuerzas a lo largo de este segmento y sumando los momentos, se obtienen las ecuaciones para la fuerza de corte y el momento de flexión. Estas ecuaciones son:

∑ F = − 10 − V 1 = 0 {\displaystyle \sum F=-10-V_{1}=0}

y

∑ M A = − V 1 x + M 1 = 0 . {\displaystyle \sum M_{a}= – V_{1}x + M_{1}=0\,.}

Por lo tanto,

V 1 = − 10 y M 1 = − 10 x . {\displaystyle V_{1}=-10\Quad {\text{and}}\quad M_{1}=-10x\,.,}

Paso 4: Calcular las fuerzas cortantes y los momentos de segundo pieceEdit

se Toma el segundo segmento, terminando en cualquier lugar antes de la segunda fuerza interna, hemos

∑ F = − 10 + R a − ( 1 ) ( x − 10 ) − V 2 = 0 {\displaystyle \sum F=-10+R_{a}-(1)(x-10)-V_{2}=0}

y

∑ M A = R a ( 10 ) − ( 1 ) ( x − 10 ) ( x + 10 ) 2 − V 2 x + M 2 = 0 . {\displaystyle \sum M_{Un}=R_{a}(10)-(1)(x-10){\frac {(x+10)}{2}}-V_{2}x+M_{2}=0\,.,}

Por lo tanto,

V 2 = R a − x Y M 2 = − 50 + R a ( x − 10 ) − x 2 2 . {\displaystyle V_{2}=R_{a}-x\quad {\text{y}}\quad M_{2}=-50+R_{a}(x-10)-{\frac {x^{2}}{2}}\,.}

observe que debido a que la fuerza de corte es en términos de x, la ecuación del momento es cuadrada. Esto se debe al hecho de que el momento es la integral de la fuerza cortante. La parte difícil de este momento es la fuerza distribuida. Dado que la fuerza cambia con la longitud del segmento, la fuerza se multiplicará por la distancia después de 10 pies. i. e., (x-10) la ubicación del momento se define en medio de la fuerza distribuida, que también está cambiando. Aquí es donde (x+10)/2 se deriva de.

alternativamente, podemos tomar momentos sobre la sección transversal para obtener

∑ M A = 10 x − R a ( x − 10 ) + ( 1 ) ( x − 10 ) ( x − 10 ) 2 + M 2 = 0 . {\displaystyle \sum M_{Un}=10x-R_{a}(x-10)+(1)(x-10){\frac {(x-10)}{2}}+M_{2}=0\,.}

de nuevo, en este caso,

M 2 = − 50 + R a ( x − 10 ) − x 2 2 . {\displaystyle M_{2}=-50+R_{a}(x-10)-{\frac {x^{2}}{2}}\,.,}

Paso 5: Calcular las fuerzas cortantes y los momentos tercio pieceEdit

se Toma el tercer segmento, y sumando fuerzas, hemos

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 3 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{3}=0}

y sumar momentos alrededor de la sección transversal, obtenemos

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) + M 3 = 0 . {\displaystyle (10)(x)-R_{a}(x-10)-R_{b}(x-25)+(1)(15)(x-17.5)+M_{3}=0\,.,}

por lo Tanto,

V 3 = 25 − R a − R b = R c {\displaystyle V_{3}=25-R_{a}-R_{b}=R_{c}}

y

M 3 = 262.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 = x − 675 + R ( 30 − 0,6 x ) − M c ( 1 − 0.04 x ) + 12,5 x . {\displaystyle M_{3}=262.5 + R_{a}(x-10)+R_{b} (x-25)-25x=-675 + R_{a} (30-0.6 x)-M_{c} (1-0.04 x)+12.5 x\,.}

observe que la fuerza distribuida ahora se puede considerar una fuerza de 15 kips que actúa en el medio de donde se coloca.,

Paso 6: Calcular las fuerzas cortantes y los momentos de la cuarta pieceEdit

se Toma el cuarto y último segmento, un equilibrio de fuerzas da

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 4 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{4}=0}

y un equilibrio de momentos alrededor de la sección transversal conduce a

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) − 50 M + 4 = 0 . {\displaystyle (10)(x)-R_{a}(x-10)-R_{b}(x-25)+(1)(15)(x-17.,5) -50+m_{4}=0\,.}

la Solución para que la V4 y M4, tenemos

V 4 = 25 − R a − R b = R c {\displaystyle V_{4}=25-R_{a}-R_{b}=R_{c}}

y

M 4 = 312.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 = x − 625 + R ( 30 − 0,6 x ) + M c ( 0.04 x − 1 ) + 12,5 x . {\displaystyle M_{4}=312.5+R_{a}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-625+R_{a}(30-0.6 x)+M_{c}(0.04 x-1)+12,5 x\,.}

trazando cada una de estas ecuaciones en sus intervalos previstos, se obtienen los diagramas de momento de flexión y fuerza de corte para esta viga. En particular, en el extremo sujeto de la viga, x = 50 y tenemos

M 4 = M c = – 937.5 + 40 r a + 25 R b ., {\displaystyle M_{4} = M_{c} = -937.5 + 40r_{a}+25r_{b}\,.}

Paso 7: calcular las deflexiones de los cuatro segmentoseditar

ahora usamos la teoría del haz de Euler-Bernoulli para calcular las deflexiones de los cuatro segmentos. La ecuación diferencial que relaciona la desviación de la viga (w) con el momento de flexión (M) es

d 2 w D x 2 − – M e i {\displaystyle {\frac {d^{2} w} {dx^{2}}}=-{\frac {M}{EI}}}

donde E es el módulo de Young y I es el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga., 2 = 1 24 E I x 2 + C 3 + C 4 x w 3 = 1 100 E I + C 5 + C 6 x w 4 = 1 100 E I + C 7 + C 8 x {\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {5}{3EI}}\,x^{3}+C_{1}+C_{2}\,x\\w_{2}&={\frac {1}{24EI}}\,x^{2}\,\a la izquierda+C_{3}+C_{4}\,x\\w_{3}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{5}+C_{6}\,x\\w_{4}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{7}+C_{8}\,x\end{aligned}}}

Paso 8: Aplicar el límite conditionsEdit

Ahora vamos a aplicar el desplazamiento de las condiciones de contorno para los cuatro segmentos para determinar las constantes de integración.,

para el cuarto segmento de la viga, consideramos las condiciones de contorno en el extremo sujeto donde w4 = dw/dx = 0 en x = 50. La solución para C7 y C8 da

C 7 = − 1250 3 E i ( − 625 + M c + 30 R a ) y C 8 = 125 E I ( − 125 + 6 r a ) . {\displaystyle C_{7}=-{\frac {1250}{3EI}}(-625+M_{c}+30R_{a})\quad {\text{y}}\quad C_{8}={\frac {125}{EI}}(-125+6R_{a})\,.}

Por lo tanto, podemos expresar w4 como

w 4 = − 1 300 E i ( x − 50 ) 2 . {\displaystyle w_{4}=-{\frac {1}{300ei}}(x-50)^{2}\left\,.}

Ahora, w4 = w3 en x = 37.5 (el punto de aplicación de la pareja externa)., Además, las pendientes de las curvas de deflexión en este punto son las mismas, es decir, dw4 / dx = dw3 / dx. Usando estas Condiciones de contorno y resolviendo para C5 y C6, obtenemos

C 5 = − 625 12 E i ( − 5675 + 8 M c + 240 R a ) y C 6 = 250 E I ( 3 R a − 70 ) . {\displaystyle C_{5}= – {\frac {625}{12EI}} (-5675 + 8M_{c} + 240r_{a}) \ quad {\text {and}} \ quad C_{6}={\frac {250}{EI}}\left (3R_{a}-70 \ right)\,.}

La sustitución de estas constantes en la expresión para w3 nos da

w 3 = 1 300 E I . {\displaystyle {\begin{aligned}w_{3}={\frac {1}{300EI}}{\Bigl }\,.,\end{aligned}}}

de manera similar, en el soporte entre los segmentos 2 y 3 donde x = 25, w3 = w2 y dw3/dx = dw2/dx. Usando estos y resolviendo para C3 y C4 da

C 3 = − 3125 24 E I ( − 1645 + 4 M c + 64 R a ) y C 4 = 25 12 E i ( − 40325 + 6 m c + 120 R a ) . {\displaystyle C_{3}=-{\frac {3125}{24EI}}(-1645+4M_{c}+64R_{a})\quad {\text{y}}\quad C_{4}={\frac {25}{12EI}}\left(-40325+6M_{c}+120R_{un}\derecho)\,.}

Por lo tanto,

w 2 = 1 24 E I . {\displaystyle {\begin{aligned}w_{2}={\frac {1}{24EI}}{\Bigl }\,.,\end{aligned}}}

en el soporte entre los segmentos 1 y 2, x = 10 y w1 = w2 y dw1/dx = dw2/dx. Estas Condiciones de contorno nos dan

C 1 − – 125 24 E I ( − 40145 + 100 M c + 1632 R a ) y C 2 = 25 4 E i ( − 1315 + 2 M c + 48 R a ) . {\displaystyle C_{1}=-{\frac {125}{24EI}}(-40145+100M_{c}+1632R_{a})\quad {\text{y}}\quad C_{2}={\frac {25}{4EI}}(-1315+2M_{c}+48R_{a})\,.}

Por lo tanto,

w 1 = 5 24 E I . {\displaystyle w_{1}={\frac {5}{24EI}}\left\,.}

Paso 9: resolver para Mc y RaEdit

porque w2 = 0 en x = 25, podemos resolver para Mc en términos de Ra para obtener

M c = 175-7.,5 R a . {\displaystyle M_{c}=175-7.5R_{a}\,.}

también, ya que w1 = 0 en x = 10, expresando la desviación en términos de Ra (después de eliminar Mc) y resolviendo para Ra, da

r a = 25.278 M M c = − 14.585 . {\displaystyle R_{a}=25.278\quad \implica \quad M_{c}=-14.585\,.,}

Paso 10: Parcela de momento flector y la fuerza cortante diagramsEdit

ahora podemos calcular las reacciones de Rb y Rc, los momentos de flexión M1, M2, M3, M4, y las fuerzas de cizallamiento V1, V2, V3, V4. Estas expresiones se pueden representar en función de la longitud de cada segmento.,

relación entre el esfuerzo cortante y el momento de doblezeditar

es importante notar la relación entre los dos diagramas. El diagrama del momento es una representación visual del área bajo el diagrama de fuerza cortante. Es decir, el momento es la integral de la fuerza cortante. Si la fuerza de corte es constante durante un intervalo, la ecuación del momento será en términos de x (lineal). Si la fuerza de corte es lineal en un intervalo, la ecuación del momento será cuadrática (parabólica).

otra nota en los diagramas de fuerza de corte es que muestran dónde se aplican la fuerza externa y los momentos., Sin fuerzas externas, las funciones por partes deben unirse y no mostrar discontinuidad. Las discontinuidades en los gráficos son la magnitud exacta de la fuerza externa o momentos externos que se aplican. Por ejemplo, en x = 10 en el diagrama de fuerza cortante, hay un espacio entre las dos ecuaciones. Esta brecha va de -10 a 15.3. La longitud de esta brecha es de 25,3, la magnitud exacta de la fuerza externa en ese punto. En la sección 3 del diagrama del momento, hay una discontinuidad de 50. Esto es desde el momento aplicado de 50 en la estructura., Los valores máximo y mínimo en los gráficos representan las fuerzas y momentos máximos que este haz tendrá bajo estas circunstancias.