L’une des questions les plus courantes que se posent les lecteurs de cette archive est: qui a découvert zero? Pourquoi alors n’avons-nous pas écrit un article sur zero comme l’un des premiers dans les archives? La raison en est essentiellement due à la difficulté de répondre à la question sous une forme satisfaisante. Si quelqu’un avait proposé le concept de zéro que tout le monde considérait alors comme une brillante innovation pour entrer dans les mathématiques à partir de ce moment-là, la question aurait une réponse satisfaisante même si nous ne savions pas quel génie l’a inventé., Le dossier historique, cependant, montre un chemin tout à fait différent vers le concept. Zéro fait des apparences sombres pour disparaître à nouveau presque comme si les mathématiciens le cherchaient mais ne reconnaissaient pas sa signification fondamentale même quand ils l’ont vu.
la première chose à dire à propos de Zéro est qu’il y a deux utilisations de zéro qui sont toutes deux extrêmement importantes mais qui sont quelque peu différentes. Une utilisation est comme un indicateur de place vide dans notre système de nombre de valeur de place. Par conséquent, dans un nombre comme 2106, le Zéro est utilisé pour que les positions des 2 et 1 soient correctes., Il est clair que 216 signifie quelque chose de tout à fait différent. La deuxième utilisation de Zéro est comme un nombre lui-même sous la forme que nous l’utilisons comme 0. Il y a aussi différents aspects de zéro dans ces deux utilisations, à savoir le concept, la notation et le nom. (Notre nom  » zéro « dérive finalement de l’arabe sifr qui nous donne aussi le mot »chiffre ».)
aucune des utilisations ci-dessus n’a une histoire facilement décrite. Il n’est tout simplement pas arrivé que quelqu’un ait inventé les idées, puis tout le monde a commencé à les utiliser. Il est également juste de dire que le nombre zéro est loin d’être un concept intuitif., Les problèmes mathématiques ont commencé comme des problèmes « réels » plutôt que des problèmes abstraits. Les nombres dans les premiers temps historiques ont été pensés beaucoup plus concrètement que les concepts abstraits qui sont nos nombres aujourd’hui. Il y a des sauts mentaux géants de 5 chevaux à 5 « choses », puis à l’idée abstraite de « cinq ». Si les peuples anciens résolvaient un problème sur le nombre de chevaux dont un agriculteur avait besoin, le problème n’allait pas avoir 0 ou -23 comme réponse.,
On pourrait penser qu’une fois qu’un système de nombre de valeur de lieu a vu le jour, alors le 0 comme indicateur de lieu vide est une idée nécessaire, mais les Babyloniens avaient un système de nombre de valeur de lieu sans cette caractéristique pendant plus de 1000 ans. De plus, il n’y a absolument aucune preuve que les Babyloniens ont estimé qu’il y avait un problème avec l’ambiguïté qui existait. Remarquablement, les textes originaux survivent de l’ère des mathématiques babyloniennes. Les Babyloniens écrivaient sur des tablettes d’argile non cuite, en utilisant l’écriture cunéiforme., Les symboles étaient pressés dans des tablettes d’argile molle avec le bord incliné d’un stylet et avaient donc un aspect en forme de coin (d’où le nom cunéiforme). De nombreuses tablettes datant d’environ 1700 avant JC subsistent et nous pouvons lire les textes originaux. Bien sûr, leur notation pour les nombres était très différente de la nôtre (et non pas basée sur 10 mais sur 60) mais pour traduire dans notre notation, ils ne feraient pas de distinction entre 2106 et 216 (le contexte devrait montrer ce qui était prévu)., Ce n’est que vers 400 avant JC que les Babyloniens ont mis deux symboles de coin à l’endroit où nous mettrions zéro pour indiquer ce qui était signifié, 216 ou 21  » 6.
Les deux coins n’étaient pas la seule notation utilisée, cependant, et sur une tablette trouvée à Kish, une ancienne ville mésopotamienne située à l’est de Babylone dans ce qui est aujourd’hui le Centre-Sud de L’Irak, une notation différente est utilisée. Cette tablette, qui daterait d’environ 700 av. j.-c., utilise trois crochets pour désigner un endroit vide dans la notation positionnelle. D  » autres comprimés datés de la même époque utilisent un seul crochet pour un endroit vide., Il est une caractéristique commune à cette utilisation de différentes marques pour désigner une position vide. C’est le fait qu’il ne s’est jamais produit à la fin des chiffres mais toujours entre deux chiffres. Donc, bien que nous trouvions 21 « 6, Nous ne trouvons jamais 216 ». Il faut supposer que le sentiment plus ancien que le contexte était suffisant pour indiquer ce qui était prévu s’appliquait encore dans ces cas.
Si cette référence au contexte semble idiote, il convient de noter que nous utilisons encore le contexte pour interpréter les nombres aujourd’hui., Si je prends un bus pour une ville voisine et demande Quel est le tarif, alors je sais que la réponse « c’est trois cinquante » signifie trois livres cinquante pence. Pourtant, si la même réponse est donnée à la question sur le coût d’un vol D’Edimbourg à New York, alors je sais que trois cent cinquante livres est ce qui est prévu.
Nous pouvons voir à partir de cela que l’utilisation précoce de zéro pour désigner un endroit vide n’est pas vraiment l’utilisation de zéro comme nombre du tout, simplement l’utilisation d’un certain type de signe de ponctuation afin que les nombres aient l’interprétation correcte.,
maintenant, les anciens Grecs ont commencé leurs contributions aux mathématiques à l’époque où zéro comme un indicateur de lieu vide entrait en usage dans les mathématiques babyloniennes. Les Grecs cependant n’ont pas adopté un système de numération positionnelle. Il vaut la peine de penser à quel point ce fait est important. Comment les brillants progrès mathématiques des Grecs ne pourraient-ils pas les voir adopter un système de nombres avec tous les avantages que le système babylonien de valeur de lieu possédait?, La vraie réponse à cette question est plus subtile que la simple réponse que nous sommes sur le point de donner, mais fondamentalement les réalisations mathématiques grecques étaient basées sur la géométrie. Bien que les éléments D’Euclide contiennent un livre sur la théorie des nombres, il est basé sur la géométrie. En d’autres termes, les mathématiciens Grecs n’avaient pas besoin de nommer leurs nombres car ils travaillaient avec des nombres comme des longueurs de lignes. Les nombres qui devaient être nommés pour les enregistrements étaient utilisés par les marchands, pas les mathématiciens, et donc aucune notation intelligente n’était nécessaire.
maintenant, il y avait des exceptions à ce que nous venons de dire., Les exceptions étaient les mathématiciens qui ont été impliqués dans l’enregistrement des données astronomiques. Nous trouvons ici la première utilisation du symbole que nous reconnaissons aujourd’hui comme la notation pour zéro, car les astronomes grecs ont commencé à utiliser le symbole O. Il existe de nombreuses théories pour lesquelles cette notation particulière a été utilisée. Certains historiens privilégient l’explication selon laquelle il s’agit d’omicron, la première lettre du mot grec pour rien à savoir « ouden ». Neugebauer, cependant, rejette cette explication puisque les Grecs utilisaient déjà omicron comme nombre-il représentait 70 (le système numérique grec était basé sur leur alphabet)., D’autres explications proposées incluent le fait qu’il signifie « obol », une pièce de monnaie de presque aucune valeur, et qu’il apparaît lorsque des compteurs ont été utilisés pour compter sur un panneau de sable. La suggestion ici est que lorsqu’un compteur a été retiré pour laisser une colonne vide, il a laissé une dépression dans le sable qui ressemblait à O.
Ptolémée dans L’Almageste écrit vers 130 après JC utilise le système sexagésimal babylonien avec le support de place vide O., À ce moment-là, Ptolémée utilise le symbole à la fois entre les chiffres et à la fin d’un nombre et on pourrait être tenté de croire qu’au moins zéro en tant que titulaire de place vide était fermement arrivé. Ceci, cependant, est loin de ce qui s’est passé. Seuls quelques astronomes exceptionnels ont utilisé la notation et elle tomberait plusieurs fois plus hors d’usage avant de finalement s’établir. L’idée du lieu zéro (certainement pas considéré comme un nombre par Ptolémée qui le considérait encore comme une sorte de signe de ponctuation) fait son apparition suivante dans les mathématiques indiennes.,
La scène se déplace maintenant en Inde où il est juste de dire que les chiffres et le système numérique est né qui ont évolué dans les très sophistiqués que nous utilisons aujourd’hui. Bien sûr, cela ne veut pas dire que le système indien ne devait rien aux systèmes antérieurs et de nombreux historiens des mathématiques pensent que l’utilisation indienne du zéro a évolué à partir de son utilisation par les astronomes grecs. En plus de certains historiens qui semblent vouloir minimiser la contribution des Indiens de la manière la plus déraisonnable, il y a aussi ceux qui font des affirmations sur l’invention indienne du zéro qui semblent aller beaucoup trop loin., Par exemple Mukherjee dans les revendications:-

… la conception mathématique du zéro … était également présent sous la forme spirituelle de 17 000 ans en Inde.

ce qui est certain, c’est que vers 650AD, l’utilisation de zéro comme nombre est entrée dans les mathématiques indiennes. Les Indiens ont également utilisé un système de valeurs et zéro a été utilisé pour désigner un endroit vide. En fait, il existe des preuves d’un titulaire de place vide dans les nombres positionnels dès 200AD en Inde, mais certains historiens les rejettent comme des contrefaçons ultérieures., Examinons d’abord cette dernière utilisation puisqu’elle poursuit le développement décrit ci-dessus.
dans environ 500AD Aryabhata conçu un système de nombre qui n’a pas de zéro était encore un système de position. Il a utilisé le mot « kha » pour la position et il serait utilisé plus tard comme nom pour zéro. Il existe des preuves qu’un point avait été utilisé dans les manuscrits indiens antérieurs pour désigner un endroit vide dans la notation positionnelle. Il est intéressant de noter que les mêmes documents utilisaient parfois également un point pour désigner un inconnu où nous pourrions utiliser xxx., Plus tard, les mathématiciens Indiens avaient des noms pour zéro dans les nombres positionnels mais n’avaient pas de symbole pour cela. Le premier enregistrement de l’utilisation indienne du zéro qui est daté et accepté par tous pour être authentique a été écrit en 876.
Nous avons une inscription sur une tablette de pierre qui contient une date qui se traduit par 876. L’inscription concerne la ville de Gwalior, à 400 km au sud de Delhi, où ils ont planté un jardin de 187 hastas sur 270 qui produirait suffisamment de fleurs pour permettre de donner 50 guirlandes par jour au temple local., Les deux nombres 270 et 50 sont notés presque tels qu’ils apparaissent aujourd’hui bien que le 0 soit plus petit et légèrement surélevé.
nous en venons maintenant à considérer la première apparition de zéro comme un nombre. Notons d’abord que ce n’est en aucun cas un candidat naturel pour un nombre. Depuis les temps anciens, les nombres sont des mots qui se réfèrent à des collections d’objets. Certes, l’idée de nombre est devenue de plus en plus abstraite et cette abstraction rend alors possible la prise en compte des nombres nuls et négatifs qui ne se posent pas comme propriétés de collections d’objets., Bien sûr, le problème qui se pose lorsque l’on essaie de considérer le zéro et les négatifs comme des nombres est la façon dont ils interagissent en ce qui concerne les opérations d’arithmétique, d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. Dans trois livres importants, les mathématiciens Indiens Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara ont essayé de répondre à ces questions.

Brahmagupta a tenté de donner les règles de l’arithmétique impliquant des nombres nuls et négatifs au VIIe siècle. Il a expliqué qu’étant donné un nombre, si vous le soustrayez de lui-même, vous obtenez zéro., Il a donné les règles suivantes pour plus qui impliquent zéro:-

Le somme de zéro et d’un nombre négatif est négatif, la somme d’un nombre positif et le zéro est positif, la somme de zéro et zéro, c’est zéro.

Soustraction est un peu plus difficile:-

Un nombre négatif soustraite à partir de zéro est positif, un nombre positif soustraite à partir de zéro est négatif, zéro soustrait un nombre négatif est négatif, zéro soustrait un nombre positif est positif, nul soustraite à partir de zéro, c’est zéro.,

Brahmagupta dit alors que tout nombre lorsqu’il est multiplié par Zéro est zéro mais peine quand il s’agit de division:-

un nombre positif ou négatif lorsqu’il est divisé par Zéro est une fraction avec le zéro comme dénominateur. Zéro divisé par un nombre négatif ou positif est soit zéro, soit est exprimé sous forme de fraction avec zéro comme numérateur et la quantité finie comme dénominateur. Zéro divisé par zéro est zéro.

vraiment Brahmagupta dit Très peu quand il suggère que nnn divisé par Zéro est n/0n/0n/0. Il est clair qu’il est en difficulté ici., Il a certainement tort quand il prétend alors que zéro divisé par Zéro est zéro. Cependant, c’est une tentative brillante de la première personne que nous connaissons qui a essayé d’étendre l’arithmétique aux nombres négatifs et à zéro.
En 830, environ 200 ans après que Brahmagupta a écrit son chef-d’œuvre, Mahavira a écrit Ganita Sara Samgraha qui a été conçu comme une mise à jour du livre de Brahmagupta. Il déclare correctement que:-

… un nombre multiplié par Zéro est zéro, et un nombre reste le même lorsque zéro en est soustrait.,

cependant, ses tentatives pour améliorer les déclarations de Brahmagupta sur la division par zéro semblent le conduire à l’erreur. Il écrit:-

Un nombre reste inchangé lorsqu’il est divisé par zéro.

comme cela est clairement incorrect, mon utilisation des mots « semble le conduire à l’erreur » peut être considérée comme déroutante. La raison de cette phrase est que certains commentateurs de Mahavira ont essayé de trouver des excuses pour sa déclaration incorrecte.
Bhaskara a écrit plus de 500 ans après Brahmagupta., Malgré le passage du temps, il a toujours du mal à expliquer la division par zéro. Il écrit:-

une quantité divisée par zéro devient une fraction dont le dénominateur est zéro. Cette fraction est appelée une quantité infinie. Dans cette quantité composée de ce qui a zéro pour son diviseur, il n’y a pas d’altération, bien que beaucoup puissent être insérés ou extraits; comme aucun changement n’a lieu dans le Dieu infini et immuable lorsque des mondes sont créés ou détruits, bien que de nombreux ordres d’êtres soient absorbés ou mis en avant.,

alors Bhaskara a essayé de résoudre le problème en écrivant n0=∞\large\frac{n}{0}\normalsize = ∞0n=∞. À première vue, nous pourrions être tentés de croire que Bhaskara a raison, mais bien sûr, il ne le fait pas. Si cela était vrai alors 0 × ∞ doit être égal à chaque nombre nnn, donc tous les nombres sont égaux. Les mathématiciens Indiens ne pouvaient pas se résoudre à admettre qu’on ne pouvait pas diviser par zéro. Bhaskara fait correctement l’état d’autres propriétés de zéro, cependant, comme 02=00^{2} = 002=0, et √0=0√0 = 0√0=0.,
peut-être devrions-nous noter à ce stade qu’il y avait une autre civilisation qui a développé un système de numération à valeur de lieu avec un zéro. C’était le peuple Maya qui vivait en Amérique centrale, occupant la région qui est aujourd’hui le sud du Mexique, le Guatemala et le nord du Belize. C’était une civilisation ancienne mais florissante particulièrement entre 250 et 900. Nous savons qu’en 665, ils ont utilisé un système de nombres à valeur de place pour baser 20 avec un symbole pour zéro. Cependant, leur utilisation de zéro remonte plus loin que cela et était en usage avant qu’ils n’introduisent le système de numération à valeur de lieu., C’est une réalisation remarquable, mais qui n’a malheureusement pas influencé d’autres peuples.
Vous pouvez voir un article séparé sur les mathématiques Mayas.
Le brillant travail des mathématiciens Indiens a été transmis aux mathématiciens islamiques et Arabes plus à l’Ouest. Il est venu à un stade précoce pour al-Khwarizmi a écrit Al’Khwarizmi sur l  » Art hindou du calcul qui décrit le système de valeur de lieu indien des chiffres basés sur 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et 0. Ce travail a été le premier dans ce qui est maintenant L’Irak à utiliser le zéro comme support de place dans la notation de base positionnelle., Ibn Ezra, au 12ème siècle, a écrit trois traités sur les nombres qui ont aidé à porter les symboles Indiens et les idées des fractions décimales à l’attention de certains des savants en Europe. Le livre du nombre décrit le système décimal pour les entiers avec des valeurs de place de gauche à droite. Dans ce travail, ibn Ezra utilise le zéro qu’il appelle galgal (qui signifie roue ou cercle). Un peu plus tard au 12ème siècle, al-Samawal écrivait:-

si nous soustrayons un nombre positif de zéro, le même nombre négatif reste. …, si nous soustrayons un nombre négatif de zéro, le même nombre positif reste.

les idées indiennes se sont répandues à l’est en Chine ainsi qu’à l’ouest dans les pays islamiques. En 1247, le mathématicien chinois Qin Jiushao a écrit un traité mathématique en neuf sections qui utilise le symbole O pour zéro. Un peu plus tard, en 1303, Zhu Shijie a écrit miroir de Jade des quatre éléments qui utilise à nouveau le symbole O pour zéro.
Fibonacci a été l’une des principales personnes à apporter ces nouvelles idées sur le système de numération en Europe., Comme l’écrivent les auteurs de: –

un lien important entre le système numérique Hindou-arabe et les mathématiques européennes est le mathématicien italien Fibonacci.

dans Liber Abaci he IL A décrit les neuf symboles Indiens avec le signe 0 pour les Européens vers 1200, mais il n’a pas été largement utilisé pendant longtemps après. Il est significatif que Fibonacci n’est pas assez audacieux pour traiter 0 de la même manière que les autres nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 puisqu’il parle du « signe » zéro tandis que les autres symboles dont il parle sont des nombres., Bien que le fait d’apporter clairement les chiffres indiens en Europe était d’une importance majeure, nous pouvons voir que dans son traitement du zéro, il n’a pas atteint la sophistication des Indiens Brahmagupta, Mahavira et Bhaskara ni des mathématiciens arabes et islamiques tels que al-Samawal.
On aurait pu penser que les progrès des systèmes de numération en général, et du zéro en particulier, auraient été constants à partir de ce moment. Cependant, c’était loin d’être le cas. Cardan a résolu les équations cubiques et quartiques sans utiliser zéro., Il aurait trouvé son travail dans les années 1500 tellement plus facile s’il avait eu un zéro, mais il ne faisait pas partie de ses mathématiques. Dans les années 1600, zero a commencé à être largement utilisé, mais seulement après avoir rencontré beaucoup de résistance.
bien sûr, il y a encore des signes des problèmes causés par zéro. Récemment, de nombreuses personnes à travers le monde ont célébré le nouveau millénaire le 1er janvier 2000. Bien sûr, ils ont célébré le passage de seulement 1999 années depuis lors que le calendrier a été mis en place aucune année zéro a été spécifié., Bien que l’on puisse pardonner l’erreur initiale, il est un peu surprenant que la plupart des gens semblent incapables de comprendre pourquoi le troisième millénaire et le 21e siècle commencent le 1er janvier 2001. Zéro cause toujours des problèmes!