The number m is a square number if and only if one can arrange m points in a square:

The expression for the nth square number is n2., Ceci est également égal à la somme des N premiers nombres impairs comme on peut le voir dans les images ci-dessus, où un carré résulte du précédent en ajoutant un nombre impair de points (montré en magenta). La formule suivante:

n 2 = ∑ k = 1 n (2 k-1). {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Par exemple, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.,

un nombre inférieur à un carré (m − 1) est toujours le produit de √M − 1 et √M + 1 (par exemple, 8 × 6 est égal à 48, tandis que 72 est égal à 49). Ainsi, 3 est le seul nombre premier inférieur à un carré.

un nombre carré est aussi la somme de deux nombres triangulaires consécutifs. La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré. Chaque carré Impair est également un nombre octogonal centré.

Une autre propriété d’un nombre carré est que (sauf 0) Il a un nombre impair de diviseurs positifs, tandis que d’autres nombres naturels ont un nombre pair de diviseurs positifs., Une racine entière est le seul diviseur qui s’associe à lui-même pour donner le nombre carré, tandis que les autres diviseurs viennent par paires.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange stipule que tout entier positif peut être écrit comme la somme de quatre carrés parfaits ou moins. Trois carrés ne suffisent pas pour des nombres de la forme 4k(8m + 7). Un entier positif peut être représenté comme une somme de deux carrés précisément si sa factorisation première ne contient pas de puissances impaires de nombres premiers de la forme 4k + 3. Ceci est généralisé par le problème de Waring.,

En base 10, un nombre carré peut se terminer que, avec les chiffres 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, comme suit:

• si le dernier chiffre d’un nombre est égal à 0, le carré se termine en 0 (en fait, les deux derniers chiffres doit être 00);
• si le dernier chiffre d’un nombre est de 1 ou 9, le carré se termine dans 1;
• si le dernier chiffre d’un nombre à 2 ou 8, le carré se termine dans 4;
• si le dernier chiffre d’un nombre est de 3 ou 7, le carré se termine dans 9;
• si le dernier chiffre d’un nombre à 4 ou 6, le carré se termine dans 6;
• si le dernier chiffre d’un nombre est de 5, le carré se termine dans 5 (en fait, les deux derniers chiffres doit être de 25).,

En base 12, un nombre carré peut se terminer que, avec carré de chiffres (comme en base 12, un nombre premier ne peut se terminer que, avec le premier des chiffres ou 1), qui est, 0, 1, 4 ou 9, comme suit:

• si un nombre est divisible à la fois par 2 et par 3 (qui est divisible par 6), son carré se termine à 0;
• si un nombre est divisible ni par 2, ni par 3, son carré se termine dans 1;
• si un nombre est divisible par 2, mais pas par 3, son carré se termine dans 4;
• si un nombre n’est pas divisible par 2, mais le 3, le carré se termine dans 9.,

des règles similaires peuvent être données pour d’autres bases, ou pour des chiffres antérieurs (les dizaines au lieu du chiffre des unités, par exemple). Toutes ces règles peuvent être prouvées en vérifiant un nombre fixe de cas et en utilisant l’arithmétique modulaire.

en général, si un premier p divise un nombre carré m, alors le carré de p doit également diviser m; SI p ne divise pas m/p, alors m n’est certainement pas carré. En répétant les divisions de la phrase précédente, on conclut que chaque nombre premier doit diviser un carré parfait donné un nombre pair de fois (y compris éventuellement 0 fois)., Ainsi, le nombre m est un nombre carré si et seulement si, dans sa représentation canonique, tous les exposants sont même.

le test de Squarité peut être utilisé comme méthode alternative dans la factorisation de grands nombres. Au lieu de tester la divisibilité, testez la squarité: pour m donné et un certain nombre k, si k2 − m est le carré d’un entier n alors k − n divise m. (Ceci est une application de la factorisation d’une différence de deux carrés.) Par exemple, 1002-9991 est le carré de 3, donc par conséquent 100-3 divise 9991., Ce test est déterministe pour les diviseurs impairs dans la plage de k-n à k + N où k couvre une plage de nombres naturels K ≥ √M.

un nombre carré ne peut pas être un nombre parfait.

La somme des n premiers nombres carrés est

∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . {\displaystyle \ sum _{n=0}^{N} n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\Il s’agit d’une méthode de calcul de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur.,}

les premières valeurs de ces sommes, les nombres pyramidaux carrés, sont: (séquence A000330 dans L’OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

La somme des premiers entiers impairs, en commençant avec un, est un carré parfait: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc.

La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers nombres entiers positifs; c’est Nicomaque du théorème.,

Tous les quatrième pouvoirs, sixième pouvoirs, huitième pouvoirs et ainsi de suite sont des carrés parfaits.