supposons que la fonction d’utilité du consommateur soit définie par U ( x , y ) {\displaystyle U(x,y)} , où U est l’utilité du consommateur, x et y sont des biens. Ensuite, le taux marginal de substitution peut être calculé par différenciation partielle, comme suit.,on obtient les résultats suivants:

d U = ( ∂ U / x x ) D x + (U U / y y ) d y {\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}, ou en remplaçant par le haut , d U = M U x d x + m U Y d y {\displaystyle \ du=MU_{x}dx+MU_{y}dy}, ou , sans perte de généralité, le total la dérivée de la fonction utilitaire par rapport au bon x, D U D X = M U X D x D x + m u y d y D x {\displaystyle {\frac {du}{DX}}=mu_{x}{\frac {DX}}+mu_{y} {\frac {dy} {dx}}, c’est-à-dire , d U D x = M U X + M U Y D Y D x {\displaystyle {\frac {du} {DX}} c’est le cas pour les autres .,

par n’importe quel point de la courbe d’indifférence, dU/dx = 0, Car U = c, où c est une constante. Il résulte de l’équation ci − dessus que:

0 = M u x + M U Y d Y D x {\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}, ou réarrangement-d y D x = m U x M U y {\displaystyle – {\frac {dy} {dx}}={\FRAC {MU_{x}} {MU_{y}}}}

le taux marginal de substitution est défini comme la valeur absolue de la pente de la courbe d’indifférence à n’importe quelle quantité de faisceau de marchandises sont D’intérêt. Cela s’avère être égal au rapport des utilitaires marginaux:

M R S X y = M U x / M U Y., {\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}.\,} .,\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }} − ( M, R, S, x, y ) = − ( P x / P, y ) {\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})} M, R, S, x y = P x, P y {\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}

Donc, lorsque le consommateur a le choix de son utilité agrandie panier sur sa ligne budgétaire,

M a U x / M U y = P x, P y {\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}} M U x / P x = M U P y y {\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}

Cet important résultat nous indique que l’utilité est maximisée lorsque le consommateur du budget est affecté, de sorte que l’utilité marginale par unité d’argent dépensé est égale pour chaque bien., Si cette égalité ne tenait pas, le consommateur pourrait augmenter son utilité en réduisant les dépenses sur le bien avec une utilité marginale inférieure par unité d’argent et en augmentant les dépenses sur l’Autre bien. Pour diminuer le taux marginal de substitution, le consommateur doit acheter plus du bien pour lequel il souhaite que l’utilité marginale tombe (en raison de la loi de l’utilité marginale décroissante).