le principe du travail et de l’énergie cinétique (également connu sous le nom de principe travail–énergie) stipule que le travail effectué par toutes les forces agissant sur une particule (le travail de la force résultante) est égal au changement de l’énergie cinétique de la particule., Autrement dit, le travail w effectué par la force résultante sur une particule est égal à la variation de l’énergie cinétique de la particule E k {\displaystyle E_{K}},

W = Δ E k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W= \ Delta E_{k}={\tfrac{1} {2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}} ,

la dérivation du principe travail-énergie commence par la deuxième loi du mouvement de Newton et la force résultante sur une particule. Le calcul du produit scalaire des forces avec la vitesse de la particule évalue la puissance instantanée ajoutée au système.,

Les contraintes définissent la direction de déplacement de la particule en s’assurant qu’il n’y a pas de composante de vitesse dans la direction de la force de contrainte. Cela signifie également que les forces de contrainte ne s’ajoutent pas à la puissance instantanée. L’intégrale temporelle de cette équation scalaire donne du travail à partir de la puissance instantanée, et de l’énergie cinétique à partir du produit scalaire de la vitesse et de l’accélération. Le fait que le principe travail–énergie élimine les forces de contrainte sous-tend la mécanique Lagrangienne.

Cette section se concentre sur le principe travail–énergie tel qu’il s’applique à la dynamique des particules., Dans les systèmes plus généraux, le travail peut modifier l’énergie potentielle d’un dispositif mécanique, l’énergie thermique dans un système thermique ou l’énergie électrique dans un dispositif électrique. Le travail transfère l’énergie d’un endroit à un autre ou d’une forme à une autre.

dérivation pour une particule se déplaçant le long d’une ligne droitedit

dans le cas où la force résultante F est constante en amplitude et en direction, et parallèle à la vitesse de la particule, la particule se déplace avec une accélération constante a le long d’une ligne droite., La relation entre la force nette et l’accélération est donnée par l’équation F = ma (deuxième loi de Newton), et les particules de déplacement s peut être exprimée par l’équation

s = v 2 2 − v 1 2 2 {\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}

ce qui suit à partir de v 2 2 = v 1 2 + 2 a s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as} (voir Équations de mouvement).

le travail de la force nette est calculé comme le produit de son amplitude et du déplacement des particules., = m s = m ( v 2 2 − v 1 2 2 s ) s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}

Dans le cas général d’un mouvement rectiligne, lors de la net force F n’est pas constant en grandeur, mais elle est constante dans la direction, et en parallèle à la vitesse de la particule, le travail doit être intégrée le long de la trajectoire de la particule:

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m v d t = m ∫ t 1 t 2 v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m v 2 2 − v 1 2 ) ., {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \cours de la dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}

dérivation générale du théorème de travail–énergie pour une particleEdit

pour toute force nette agissant sur une particule se déplaçant le long d’un chemin curviligne quelconque, on peut démontrer que son travail est égal à la variation de l’énergie cinétique de la particule par une dérivation simple analogue à l’équation ci-dessus.,\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}} d v 2 d t = d ( v ⋅ v ) d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 a ⋅ v {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} } .,

la partie restante de la dérivation ci-dessus n’est qu’un simple calcul, comme dans le cas rectiligne précédent.

dérivation pour une particule dans un mouvement contraint.

En dynamique des particules, une formule assimilant le travail appliqué à un système à son changement d’énergie cinétique est obtenue comme une première intégrale de la deuxième loi du mouvement de Newton. Il est utile de remarquer que la force résultante utilisée dans les lois de Newton peut être séparée en forces appliquées à la particule et en forces imposées par des contraintes sur le mouvement de la particule., Remarquablement, le travail d’une force de contrainte est nul, donc seul le travail des forces appliquées doit être considéré dans le principe travail–énergie.

Pour voir cela, considérons une particule P qui suit la trajectoire X(t) avec une force F agissant sur elle. Isoler la particule de son environnement pour exposer les forces de contrainte R, puis la Loi de Newton prend la forme

F + R = M x , {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}

où m est la masse de la particule.

Vecteur formulationEdit

Notez que n points au-dessus d’un vecteur indique son énième fois dérivés.,Le produit scalaire de chaque côté de la loi de Newton avec le vecteur vitesse donne

F ⋅ X = m X ⋅ X, {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {x} }}=m {\DDOT {\mathbf {x}}} \cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

parce que les forces de contrainte sont perpendiculaires à la vitesse des particules. Intégrer cette équation le long de sa trajectoire du point X(t1) au point X(t2) pour obtenir

∫ t 1 t 2 F X X d T = m ∫ t 1 T 2 X ⋅ X d T. {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.,}

le côté gauche de cette équation est le travail de la force appliquée car elle agit sur la particule le long de la trajectoire du temps t1 au temps t2. Cela peut également être écrit comme

W = ∫ t 1 t 2 F d x d t = ∫ X ( t 1 ) X ( t 2 ) F d d X . {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}

cette intégrale est calculée le long de la trajectoire X (t) de la particule et est donc dépendante du chemin.,

Le côté droit de la première intégrale des équations de Newton peut être simplifiée en utilisant l’identité suivante

1 2 d d t ( X ⋅ X ) = X ⋅ X , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

(voir la règle de dérivation).,e is defined by the scalar quantity,

K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}

Tangential and normal componentsEdit

It is useful to resolve the velocity and acceleration vectors into tangential and normal components along the trajectory X(t), such that

X ˙ = v T and X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N , {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}

where

v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ ., {\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}

Ensuite, le produit scalaire de la vitesse avec une accélération dans la deuxième loi de Newton prend la forme

Δ K = m ∫ t 1 t 2 v v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) , {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}

où l’énergie cinétique de la particule est définie par la quantité scalaire,

K = m 2 v 2 = m 2 X ⋅ X ., {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}

le résultat est le principe de travail–énergie pour la dynamique des particules,

W = Δ K. {\displaystyle W= \ Delta K.\!}

cette dérivation peut être généralisée à des systèmes de corps rigides arbitraires.

se déplaçant en ligne droite (dérapage à l’arrêt)Edit

considérons le cas d’un véhicule se déplaçant le long d’une trajectoire horizontale droite sous l’action d’une force motrice et d’une gravité qui se résument à F. Les forces de contrainte entre le véhicule et la route définissent R, et nous avons

, {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.} F x V = m v v. l’intégration des deux côtés donne t t 1 t 2 F X V d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}

Si Fx est constante le long de la trajectoire, alors l’intégrale de la vitesse est la distance, de sorte

F x ( d ( t 2 ) − d ( t 1 ) ) = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).,}

par exemple, considérez une voiture en dérapage à un arrêt, où k est le coefficient de frottement et W est le poids de la voiture. Ensuite, la force le long de la trajectoire est Fx = −kW. La vitesse v de la voiture peut être déterminée à partir de la longueur s du patin en utilisant le principe de l’énergie de travail,

k W s = W 2 G v 2, ou v = 2 k s G. {\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\mbox{ou}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}

Notez que cette formule utilise le fait que la masse du véhicule est de m = P/g.

rouler sur une route de montagne (gravity racing)modifier

considérez le cas d’un véhicule qui commence au repos et longe une route de montagne, le principe de l’énergie de travail aide à calculer la distance minimale parcourue par le véhicule pour atteindre une vitesse V, par exemple 60 mph (88 fps). La résistance au roulement et la traînée d’air ralentiront le véhicule, de sorte que la distance réelle sera plus grande que si ces forces sont négligées.,

soit la trajectoire du véhicule suivant la route X(t) qui est une courbe dans l’espace tridimensionnel. La force agissant sur le véhicule qui le pousse sur la route est la force de gravité constante F = (0, 0, W), tandis que la force de la route sur le véhicule est la force de contrainte R. La deuxième loi de Newton donne,

F + R = M X. {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}

Le produit scalaire de cette équation avec la vitesse V = (vx, vy, vz), les rendements

W v z = m V V , {\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V}

où V est l’ampleur de V., Les forces de contrainte entre le véhicule et la route s’annulent de cette équation car R ⋅ V = 0, ce qui signifie qu’elles ne fonctionnent pas.Intégrer les deux côtés pour obtenir

t t 1 T 2 W V z d T = m 2 V 2 ( t 2 ) − m 2 V 2 ( t 1 ) . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}

la force de poids W est constante le long de la trajectoire et l’intégrale de la vitesse verticale est la distance verticale, par conséquent,

W Δ z = m 2 V 2 . {\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}

rappelez – vous que V (t1)=0., Notez que ce résultat ne dépend pas de la forme de la route suivie par le véhicule.

afin de déterminer la distance le long de la route assumer la décote est de 6%, ce qui est une route escarpée. Cela signifie que l’altitude diminue de 6 pieds pour chaque 100 pieds parcourus-pour des angles aussi petits, les fonctions sin et tan sont à peu près égales. Par conséquent , la distance s en pieds sur une pente de 6% pour atteindre la vitesse V est d’au moins

s = Δ z 0,06 = 8,3 V 2 g, ou s = 8,3 88 2 32,2 ≈ 2000 ft . {\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\mbox{ou}}\quad s=8.,3{\frac {88^{2}}{32.2}}\environ 2000{\mbox{ft}}.}

Cette formule utilise le fait que le poids du véhicule est W = mg.