The number m is a square number if and only if one can arrange m points in a square:

The expression for the nth square number is n2., Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares como se puede ver en las imágenes anteriores, donde un cuadrado resulta del anterior agregando un número impar de puntos (mostrado en magenta). La fórmula es la siguiente:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) . {\displaystyle n^{2} = \sum _ {k=1}^{n} (2k-1).}

Por ejemplo, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.,

un número menor que un cuadrado (m − 1) es siempre el producto de √m − 1 y √m + 1 (por ejemplo, 8 × 6 es igual a 48, mientras que 72 es igual a 49). Por lo tanto, 3 es el único número primo uno menos que un cuadrado.

un número cuadrado es también la suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es también un número octogonal centrado.

otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos., Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para producir el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.

El teorema de cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier entero positivo puede escribirse como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para los números de la forma 4k(8m + 7). Un entero positivo puede representarse como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4k + 3. Esto es generalizado por el problema de Waring.,

en base 10, un número cuadrado solo puede terminar con dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:

• Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 0 (de hecho, los dos últimos dígitos deben ser 00);
• si el último dígito de un número es 1 o 9, Su cuadrado termina en 1;
• si el último dígito de un número es 2 U 8, Su cuadrado termina en 4;
• si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en 9;
• si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en 6; y
• Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 5 (de hecho, los dos últimos dígitos deben ser 25).,

en base 12, un número cuadrado puede terminar solo con dígitos cuadrados (como en base 12, un número primo puede terminar solo con dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:

• si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0;
• si un número no es divisible ni por 2 ni por 3,>
• si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4; y
• si un número no es divisible por 2, sino por 3, su cuadrado termina en 9.,

se pueden dar reglas similares para otras bases, o para dígitos anteriores (las decenas en lugar del dígito de unidades, por ejemplo). Todas estas reglas se pueden probar comprobando un número fijo de casos y utilizando aritmética modular.

en general, si un p primo divide un número cuadrado m entonces el cuadrado de p también debe dividir m; SI p falla en dividir m / p, entonces m definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la oración anterior, se concluye que cada primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluyendo posiblemente 0 veces)., Así, el número m es un número cuadrado si y solo si, en su representación canónica, todos los exponentes son pares.

la prueba de Squarity se puede utilizar como manera alternativa en la factorización de números grandes. En lugar de probar la divisibilidad, pruebe la squarity: para m dado y algún número k, si k2 − m es el cuadrado de un entero n entonces k − n divide m. (esto es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados.) Por ejemplo, 1002-9991 es el cuadrado de 3, por lo que 100 – 3 divide 9991., Esta prueba es determinista para divisores impares en el rango de k − n A k + n donde k cubre algún rango de números naturales k ≥ √m.

un número cuadrado no puede ser un número perfecto.

La suma de los n primeros números al cuadrado es

∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.,}

los primeros valores de estas sumas, los números piramidales cuadrados, son: (secuencia A000330 en el OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

La suma de los primeros enteros impares, empezando con uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc.

la suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco.,

todos los cuartos poderes, sexto poderes, Octavo poderes y así sucesivamente son cuadrados perfectos.