el principio de trabajo y energía cinética (también conocido como el principio de trabajo–energía) establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula (el trabajo de la fuerza resultante) es igual al cambio en la energía cinética de la partícula., Es decir, el trabajo W realizado por la fuerza resultante en una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula e k {\displaystyle E_{k}},

W = Δ e k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W = \ Delta E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}} ,

la derivación del principio trabajo–energía comienza con la segunda ley del movimiento de Newton y la fuerza resultante sobre una partícula. El cálculo del producto escalar de las fuerzas con la velocidad de la partícula evalúa la potencia instantánea añadida al sistema.,

restricciones define la dirección de movimiento de la partícula asegurando que no hay componente de velocidad en la dirección de la fuerza de restricción. Esto también significa que las fuerzas de restricción no agregan al poder instantáneo. La integral de tiempo de esta ecuación escalar produce trabajo de la potencia instantánea, y la energía cinética del producto escalar de la velocidad y la aceleración. El hecho de que el principio trabajo–energía elimina las fuerzas de restricción subyace a la mecánica Lagrangiana.

esta sección se centra en el principio de trabajo–energía que se aplica a la dinámica de partículas., En sistemas más generales, el trabajo puede cambiar la energía potencial de un dispositivo mecánico, la energía térmica en un sistema térmico o la energía eléctrica en un dispositivo eléctrico. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro o de una forma a otra.

derivación para una partícula que se mueve a lo largo de una línea rectileditar

en el caso de que la fuerza resultante F sea constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante a a lo largo de una línea recta., La relación entre la fuerza neta y la aceleración viene dada por la ecuación F = ma (segunda ley de Newton), y el desplazamiento de partículas s puede ser expresado por la ecuación

s = v 2 2 − v 1 2 2 a {\displaystyle S={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2A}}}

que sigue de v 2 2 = v 1 2 + 2 a s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2AS} (ver ecuaciones de movimiento).

el trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud y el desplazamiento de partículas., = m s = m ( v 2 2 − v 1 2 2 s ) s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}

En el caso general de movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta F no es constante en magnitud, pero es constante en la dirección, y en paralelo a la velocidad de la partícula, el trabajo debe estar integrado a lo largo de la trayectoria de la partícula:

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m v d t = m ∫ t 1 t 2 v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m ( v 2 2 − v 1 2 ) ., {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \más de dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}

derivación General del teorema de la energía de trabajo para una particleEdit

para cualquier fuerza neta que actúe sobre una partícula moviéndose a lo largo de cualquier trayectoria curvilínea, se puede demostrar que su trabajo es igual al cambio en la energía cinética de la partícula por una derivación simple análoga a la ecuación anterior.,\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}} d v 2 d t = d ( v ⋅ v ) d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 a ⋅ v {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} } .,

la parte restante de la derivación anterior es simplemente cálculo simple, igual que en el caso rectilíneo anterior.

derivación para una partícula en movimiento constreñidoeditar

en la dinámica de partículas, una fórmula que equipara el trabajo aplicado a un sistema a su cambio en la energía cinética se obtiene como una primera integral de la segunda ley del movimiento de Newton. Es útil notar que la fuerza resultante utilizada en las leyes de Newton se puede separar en fuerzas que se aplican a la partícula y fuerzas impuestas por restricciones en el movimiento de la partícula., Sorprendentemente, el trabajo de una fuerza de restricción es cero, por lo tanto, solo el trabajo de las fuerzas aplicadas debe considerarse en el principio de trabajo–energía.

para ver esto, considere una partícula P que sigue la trayectoria X (t) con una fuerza F actuando sobre ella. Aislar la partícula de su entorno para exponer las fuerzas de restricción R, entonces la Ley de Newton toma la forma

F + R = M X, {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} = m {\ddot {\mathbf {X}}},}

donde m es la masa de la partícula.

Vector formulationEdit

tenga en cuenta que n puntos por encima de un vector indica su enésima derivada de tiempo.,El producto escalar de cada lado de la Ley de Newton con el vector de velocidad produce

F ⋅ X = m X ⋅ X, {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X}}} =m {\ddot {\mathbf {X}}} \cdot {\dot {\mathbf {X}}},}

porque las fuerzas de restricción son perpendiculares a la velocidad de la partícula. Integre esta ecuación a lo largo de su trayectoria desde el punto X(t1) hasta el punto X(t2) para obtener

∫ t 1 t 2 F ⋅ X D T = M ∫ t 1 t 2 x ⋅ X D T . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.,}

el lado izquierdo de esta ecuación es el trabajo de la fuerza aplicada, ya que actúa sobre la partícula a lo largo de la trayectoria del tiempo t1 al tiempo t2. Esto también puede ser escrito como

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ X d t = ∫ X ( t 1 ) X ( t 2 ) F ⋅ d X . {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}

esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria X(t) de la partícula y, por lo tanto, depende de la trayectoria.,

el lado derecho de La primera integral de las ecuaciones de Newton puede ser simplificado mediante la siguiente identidad

1 2 d d t ( X ⋅ X ) = X ⋅ X , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

(vea la regla de derivación).,e is defined by the scalar quantity,

K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}

Tangential and normal componentsEdit

It is useful to resolve the velocity and acceleration vectors into tangential and normal components along the trajectory X(t), such that

X ˙ = v T and X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N , {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}

where

v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ ., {\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}

Entonces, el producto escalar de la velocidad con la aceleración en la segunda ley de Newton tiene la forma

Δ K = m ∫ t 1 t 2 v v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) , {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}

cuando la energía cinética de la partícula se define por la cantidad escalar,

K = m 2 v 2 = m 2 X ⋅ X ., {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}

el resultado es el principio de trabajo-energía para la dinámica de partículas,

W = Δ K . {\displaystyle W = \ Delta K.\!}

esta derivación puede generalizarse a sistemas arbitrarios de cuerpos rígidos.

moviéndose en línea recta (derrape hasta una parada)editar

considere el caso de un vehículo moviéndose a lo largo de una trayectoria horizontal recta bajo la acción de una fuerza motriz y gravedad que suman a F. Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera definen R, y tenemos

F + R = M X ., {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.} F x v = m v v . {\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}

la Integración de ambos lados de los rendimientos

∫ t 1 t 2 F x v d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}

si Fx es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la integral de velocidad es la distancia, por lo que

F x ( d ( t 2 ) − d ( t 1 ) ) = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).,}

como ejemplo, considere un automóvil derrapando hasta una parada, donde k es el coeficiente de fricción Y W es el peso del automóvil. Entonces la fuerza a lo largo de la trayectoria es Fx = −kW. La velocidad v del automóvil se puede determinar a partir de la longitud s del patín utilizando el principio de energía de trabajo,

k W s = W 2 g v 2, o v = 2 k S g. {\displaystyle kWs={\frac {W}{2G}}v^{2}, \ quad {\mbox{or}}\quad v = {\sqrt {2ksg}}.}

observe que esta fórmula utiliza el hecho de que la masa del vehículo es m = W/g.