Il y a une histoire populaire que Gauss, mathématicien extraordinaire, avait un professeur paresseux. Le soi-disant éducateur voulait occuper les enfants pour qu’il puisse faire une sieste; il a demandé à la classe d’ajouter les chiffres 1 à 100.

Gauss approcha avec sa réponse: 5050. Si peu de temps? Le professeur soupçonnait une triche, mais non., L’addition manuelle était pour les ventouses, et Gauss a trouvé une formule pour contourner le problème:

partageons quelques explications de ce résultat et comprenons-le vraiment intuitivement. Pour ces exemples, nous allons ajouter 1 à 10, puis de voir comment il s’applique pour 1 à 100 (ou 1 à n’importe quel nombre).

Technique 1: Nombres de paires

L’appariement des nombres est une approche courante de ce problème., Au lieu d’écrire tous les nombres dans une seule colonne, enveloppons les nombres, comme ceci:

1 2 3 4 510 9 8 7 6

un motif intéressant émerge: la somme de chaque colonne est 11. À mesure que la rangée du haut augmente, la rangée du bas diminue, de sorte que la somme reste la même.

quelle est la formule ci-dessus.

attendez-qu’en est-il d’un nombre impair d’éléments?

Ah, je suis content que tu en aies parlé. Et si nous additionnons les chiffres 1 à 9? Nous n’avons pas un nombre pair d’articles à jumeler., De nombreuses explications donneront simplement l’explication ci-dessus et en resteront là. Je ne le ferai pas.

ajoutons les nombres 1 à 9, mais au lieu de partir de 1, comptons à la place de 0:

0 1 2 3 49 8 7 6 5

en comptant à partir de 0, nous obtenons un « élément supplémentaire” (10 au total) afin que nous puissions avoir un nombre pair de lignes. Cependant, notre formule sera un peu différent.

ce qui est la même formule que précédemment. Il m’a toujours mis sur écoute que la même formule fonctionnait pour les nombres impairs et pairs-n’obtiendrez-vous pas une fraction?, Oui, vous obtenez la même formule, mais pour des raisons différentes.

Technique 2: Utilisez deux lignes

la méthode ci-dessus fonctionne, mais vous gérez les nombres impairs et pairs différemment. N’est-il pas une meilleure façon? Oui.

au Lieu de boucle nombres autour de, écrivons-les en deux lignes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Notez que nous avons 10 paires, et chaque paire ajoute jusqu’à 10+1.

Le total de tous les nombres ci-dessus est

Mais nous voulons seulement la somme d’une ligne, pas les deux., Nous divisons donc la formule ci-dessus par 2 et obtenons:

maintenant c’est cool (aussi cool que les lignes de nombres peuvent l’être). Cela fonctionne pour un nombre impair ou Pair d’éléments identiques!

Technique 3: Faire un Rectangle

je suis récemment tombé sur une autre explication, une nouvelle approche de l’ancienne explication d’appariement. Différentes explications fonctionnent mieux pour différentes personnes, et j’ai tendance à aimer celui-ci mieux.

au lieu d’écrire des nombres, prétendez que nous avons des haricots. Nous voulons ajouter 1 haricot à 2 haricots à 3 haricots all jusqu’à 5 haricots.,

xx xx x xx x x xx x x x x

bien Sûr, nous pourrions aller jusqu’à 10 ou 100 fèves, mais avec 5, vous obtenez l’idée. Comment compter le nombre de haricots dans notre pyramide?

eh Bien, la somme est clairement 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Mais regardons cela d’une façon différente. Disons que nous reflétons notre pyramide (je vais utiliser  » o  » pour les beans en miroir), puis le renverser:

x o x o o o o ox x o o x x o o o ox x x o o o => x x x o o ox x x x o o o o x x x x o ox x x x x o o o o o x x x x x o

Cool, hein? Au cas où vous vous demandiez si cela s’aligne « vraiment”, c’est le cas. Jetez un oeil à la rangée inférieure de la pyramide régulière, avec 5’x (et 1 o)., La rangée suivante de la pyramide a 1 Moins x (4 au total) et 1 plus o (2 au total) pour combler l’écart. Tout comme l’appariement, un côté augmente et l’autre diminue.

Maintenant, pour l’explication: Combien de haricots ne nous ont total? Eh bien, c’est juste la zone du rectangle.

Nous avons n lignes (nous n’avons pas changé le nombre de lignes dans la pyramide), et notre collection est large de (n + 1) unités, puisque 1 « o” est associé à tous les « x”s.

notez que cette fois, nous ne nous soucions pas que n soit impair ou Pair – la formule, Si n est impair, nous aurons un nombre pair d’éléments (n+1) dans chaque ligne.

mais bien sûr, nous ne voulons pas la surface totale (le nombre de x et de o), nous voulons juste le nombre de X. puisque nous avons doublé les x pour obtenir les o, les x ne sont que la moitié de la surface totale:

et nous sommes de retour à notre formule originale. Encore une fois, le nombre de x dans la pyramide = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, ou la somme de 1 à n.,

Technique 4: Moyenne out

Nous savons tous que

average = sum / number of items

qui nous pouvons réécrire

sum = average * number of items

Donc, essayons de comprendre la somme. Si nous avons 100 numéros (1…100), alors nous avons clairement 100 articles. Cela a été facile.

Pour obtenir la moyenne, notez que les numéros sont également distribués. Pour chaque grand nombre, il y a un petit nombre à l’autre bout. Regardons un petit jeu:

1 2 3

La moyenne est de 2. 2 est déjà au milieu, et 1 et 3 « annulent » donc leur moyenne est de 2.,

Pour un même nombre d’éléments

1 2 3 4

la moyenne est comprise entre 2 et 3 – il est de 2,5. Même si nous avons une moyenne fractionnaire, c’est correct — puisque nous avons un nombre pair d’éléments, lorsque nous multiplions la moyenne par le nombre, cette fraction laide disparaîtra.

notez dans les deux cas, 1 est d’un côté de la moyenne et N est également loin de l’autre. Donc, nous pouvons dire que la moyenne de l’ensemble entier est en fait juste la moyenne de 1 et n: (1 + n) / 2.

Mettre cela dans notre formule

Et le tour est joué!, Nous avons une quatrième façon de penser à notre formule.

alors pourquoi est-ce utile?

Trois raisons:

1) l’addition des nombres rapidement peut être utile pour l’estimation. Notez que la formule se développe à ceci:

disons que vous voulez ajouter les nombres de 1 à 1000: supposons que vous obteniez 1 visiteur supplémentaire sur votre site chaque jour – combien de visiteurs au total aurez-vous après 1000 jours? Puisque mille carrés = 1 million, nous obtenons million / 2 + 1000/2 = 500,500.,

2) ce concept d’ajout de nombres 1 À N apparaît dans d’autres endroits, comme déterminer la probabilité du paradoxe d’anniversaire. Avoir une bonne compréhension de cette formule aidera votre compréhension dans de nombreux domaines.

3) plus important encore, cet exemple montre qu’il existe de nombreuses façons de comprendre une formule. Peut-être que vous aimez la méthode d’appariement, peut-être que vous préférez la technique du rectangle, ou peut-être qu’il y a une autre explication qui fonctionne pour vous. N’abandonnez pas quand vous ne comprenez pas-essayez de trouver une autre explication qui fonctionne. Heureux de mathématiques.,

en passant, il y a plus de détails sur l’histoire de cette histoire et la technique que Gauss a pu utiliser.

Variations

Au Lieu de 1 À n, Que diriez-vous de 5 à n?

Démarrer avec la formule habituelle (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) et retirer la partie que vous ne voulez pas (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

Sum for 5 + 6 + 7 + 8 + … n = – 10

Et pour n’importe quel nombre de départ un:

Sum from a to n = – 

nous voulons Nous débarrasser de tous les nombres de 1 à a – 1.

Que diriez-vous des nombres pairs, comme 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?

il suffit de doubler la formule régulière., Pour ajouter des evens de 2 à 50, trouver 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 et de deux:

Sum of 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n/2 + 1)

Donc, pour obtenir les evens de 2 à 50, vous feriez 25 * (25 + 1) = 650

Comment sur nombre impair, comme 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

C’est la même chose que la formule paire, sauf que chaque nombre est 1 de moins que son homologue (nous avons 1 au lieu de 2, 3 au lieu de 4, etc.)., Nous avons le plus grand nombre pair (n + 1) et de prendre le supplément (n + 1)/2 « -1 » articles:

Sum of 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = – 

Pour ajouter 1 + 3 + 5 + … 13, le plus grand même (n + 1 = 14) et de faire

 – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49

Combinaisons: evens et de l’offset

disons que vous voulez les evens de 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Trouver tous les evens

2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51

et soustraire désactiver ceux que vous ne voulez pas

2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25

Donc, la somme de 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950

Ouf! Espérons que cette aide.,2> autres articles de cette série

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