C’è una storia popolare che Gauss, matematico straordinario, aveva un insegnante pigro. Il cosiddetto educatore voleva tenere occupati i bambini in modo da poter fare un pisolino; ha chiesto alla classe di aggiungere i numeri da 1 a 100.

Gauss si avvicinò con la sua risposta: 5050. Così presto? L’insegnante sospettava un imbroglio, ma no., L’aggiunta manuale era per ventose, e Gauss ha trovato una formula per eludere il problema:

Condividiamo alcune spiegazioni di questo risultato e lo capiamo davvero intuitivamente. Per questi esempi aggiungeremo 1 a 10, quindi vedremo come si applica per 1 a 100 (o 1 a qualsiasi numero).

Tecnica 1: Accoppiare i numeri

Accoppiare i numeri è un approccio comune a questo problema., Invece di scrivere tutti i numeri in una singola colonna, avvolgiamo i numeri in questo modo:

1 2 3 4 510 9 8 7 6

Emerge un modello interessante: la somma di ogni colonna è 11. All’aumentare della riga superiore, la riga inferiore diminuisce, quindi la somma rimane la stessa.

che è la formula sopra.

Aspetta — che dire di un numero dispari di elementi?

Ah, sono contento che tu l’abbia tirato fuori. E se sommassimo i numeri da 1 a 9? Non abbiamo un numero pari di elementi da accoppiare., Molte spiegazioni daranno solo la spiegazione sopra e la lasceranno così. Non lo farò.

Aggiungiamo i numeri da 1 a 9, ma invece di iniziare da 1, contiamo invece da 0:

0 1 2 3 49 8 7 6 5

Contando da 0, otteniamo un “elemento extra” (10 in totale) in modo da poter avere un numero pari di righe. Tuttavia, la nostra formula apparirà un po ‘ diversa.

che è la stessa formula di prima. Mi ha sempre infastidito che la stessa formula funzionasse sia per i numeri dispari che per quelli pari-non otterrai una frazione?, Sì, si ottiene la stessa formula, ma per motivi diversi.

Tecnica 2: Usa due righe

Il metodo sopra funziona, ma gestisci i numeri pari e dispari in modo diverso. Non c’è un modo migliore? Sì.

Invece di scorrere i numeri, scriviamoli in due righe:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Si noti che abbiamo 10 coppie e ogni coppia aggiunge fino a 10+1.

Il totale di tutti i numeri sopra è

Ma vogliamo solo la somma di una riga, non entrambe., Quindi dividiamo la formula sopra per 2 e otteniamo:

Ora questo è bello (freddo come le righe di numeri possono essere). Funziona per un numero pari o dispari di elementi uguali!

Tecnica 3: Crea un rettangolo

Recentemente mi sono imbattuto in un’altra spiegazione, un nuovo approccio alla vecchia spiegazione di accoppiamento. Spiegazioni diverse funzionano meglio per persone diverse, e tendo a piacermi di più.

Invece di scrivere numeri, fingere di avere fagioli. Vogliamo aggiungere 1 fagiolo a 2 fagioli a 3 fagioli beans fino a 5 fagioli.,

xx xx x xx x x xx x x x x

Certo, potremmo andare a 10 o 100 fagioli, ma con 5 si ottiene l’idea. Come contiamo il numero di fagioli nella nostra piramide?

Bene, la somma è chiaramente 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Ma guardiamola in un modo diverso. Diciamo che rispecchiiamo la nostra piramide (userò ” o ” per i fagioli specchiati), e poi la rovesciiamo:

x o x o o o o ox x o o x x o o o ox x x o o o => x x x o o ox x x x o o o o x x x x o ox x x x x o o o o o x x x x x o

Cool, eh? Nel caso in cui ti stai chiedendo se “davvero” si allinea, lo fa. Dai un’occhiata alla riga inferiore della piramide regolare, con 5’x (e 1 o)., La riga successiva della piramide ha 1 meno x (4 totale) e 1 più o (2 totale) per colmare il divario. Proprio come l’accoppiamento, un lato sta aumentando e l’altro sta diminuendo.

Ora per la spiegazione: Quanti fagioli abbiamo in totale? Bene, questa è solo l’area del rettangolo.

Abbiamo n righe (non abbiamo cambiato il numero di righe nella piramide), e la nostra collezione è (n + 1) unità di larghezza, poiché 1 “o” è accoppiato con tutte le “x”.

Nota che questa volta, non ci interessa che n sia pari o dispari – la formula dell’area totale funziona bene., Se n è dispari, avremo un numero pari di elementi (n+1) in ogni riga.

Ma, naturalmente, non vogliamo che l’area totale (il numero di x e o), vogliamo solo il numero di x. Dal momento che abbiamo raddoppiato le x per ottenere i o, le x sono di per sé solo la metà dell’area totale:

E siamo tornati alla nostra formula originale. Di nuovo, il numero di x nella piramide = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, o la somma da 1 a n.,

Tecnica 4: Media fuori

Sappiamo tutti che

average = sum / number of items

che possiamo riscrivere a

sum = average * number of items

Quindi cerchiamo di capire la somma. Se abbiamo 100 numeri (1…100), allora abbiamo chiaramente 100 articoli. E ‘ stato facile.

Per ottenere la media, si noti che i numeri sono tutti equamente distribuiti. Per ogni numero grande, c’è un piccolo numero dall’altra parte. Diamo un’occhiata a un piccolo set:

1 2 3

La media è 2. 2 è già nel mezzo, e 1 e 3 “annullano” quindi la loro media è 2.,

Per un numero pari di elementi

1 2 3 4

la media è compresa tra 2 e 3 – è 2.5. Anche se abbiamo una media frazionaria, questo è ok-dal momento che abbiamo un numero pari di elementi, quando moltiplichiamo la media per il conteggio che la frazione brutta scomparirà.

Nota in entrambi i casi, 1 si trova su un lato della media e N è ugualmente lontano dall’altro. Quindi, possiamo dire che la media dell’intero set è in realtà solo la media di 1 e n: (1 + n)/2.

Mettendo questo nella nostra formula

E voilà!, Abbiamo un quarto modo di pensare alla nostra formula.

Quindi perché è utile?

Tre motivi:

1) Sommare rapidamente i numeri può essere utile per la stima. Si noti che la formula si espande a questo:

Diciamo che vuoi aggiungere i numeri da 1 a 1000: supponiamo che tu abbia 1 visitatore aggiuntivo al tuo sito ogni giorno – quanti visitatori totali avrai dopo 1000 giorni? Dal momento che mille al quadrato = 1 milione, otteniamo million / 2 + 1000/2 = 500,500.,

2) Questo concetto di aggiunta di numeri da 1 a N si presenta in altri luoghi, come capire la probabilità per il paradosso del compleanno. Avere una solida conoscenza di questa formula aiuterà la vostra comprensione in molte aree.

3) Soprattutto, questo esempio mostra che ci sono molti modi per capire una formula. Forse ti piace il metodo di accoppiamento, forse preferisci la tecnica del rettangolo, o forse c’è un’altra spiegazione che funziona per te. Non arrenderti quando non capisci — prova a trovare un’altra spiegazione che funzioni. Buona matematica.,

A proposito, ci sono maggiori dettagli sulla storia di questa storia e sulla tecnica che Gauss potrebbe aver usato.

Variazioni

Invece di 1 a n, che ne dici di 5 a n?

Inizia con la formula regolare (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) e sottrarre la parte che non si desidera (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

Sum for 5 + 6 + 7 + 8 + … n = – 10

E per qualsiasi numero iniziale a:

Sum from a to n = – 

Vogliamo sbarazzarci di ogni numero da 1 fino a a – 1.

Che ne dici di numeri pari, come 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?

Basta raddoppiare la formula regolare., Per aggiungere pari da 2 a 50, trovare 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 e raddoppialo:

Sum of 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n/2 + 1)

Quindi, per ottenere gli even da 2 a 50 che faresti 25 * (25 + 1) = 650

Che ne dici di numeri dispari, come 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

Questo è lo stesso della formula pari, tranne che ogni numero è 1 inferiore alla sua controparte (abbiamo 1 invece di 2, 3 invece di 4 e così via)., Abbiamo il più grande numero (n + 1) e togliere gli extra (n + 1)/2 “-1” elementi:

Sum of 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = – 

Per aggiungere 1 + 3 + 5 + … 13, il più grande anche (n + 1 = 14) e fare

 – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49

Combinazioni: pari e offset

diciamo che si desidera che il dispari dal 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Trova tutti gli even

2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51

e sottrai quelli che non vuoi

2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25

Quindi, la somma da 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950

Uff! Spero che questo aiuti.,2>Altri Post In Questa Serie

1. Tecniche per Aggiungere i Numeri da 1 a 100
2. Ripensamento Aritmetica: Una Guida Visiva
3. Rapido sguardo: Senso Intuitivo della Divisione
4. Rapido sguardo: Sottraendo i Numeri Negativi
5. Sorprendente Modelli in Piazza i Numeri (1, 4, 9, 16…)
6. Divertimento Con l’Aritmetica Modulare
7. Imparare a Contare (Evitando Il Fencepost Problema)
8. Un Eccentrico Introduzione Di Sistemi di Numero
9. un Altro Sguardo ai Numeri primi
10. l’Intuizione Del Rapporto aureo
11. Diverse Interpretazioni per il Numero Zero