Il principio del lavoro e dell’energia cinetica (noto anche come principio dell’energia del lavoro) afferma che il lavoro svolto da tutte le forze che agiscono su una particella (il lavoro della forza risultante) equivale al cambiamento nell’energia cinetica della particella., Che è, il lavoro W fatto dalla forza risultante su una particella è uguale alla variazione della particella di energia cinetica E k {\displaystyle E_{k}} ,

W = Δ E k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W=\Delta E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}} ,

La derivazione del lavoro–energia principio inizia con la seconda legge di Newton di movimento e la forza risultante su una particella. Il calcolo del prodotto scalare delle forze con la velocità della particella valuta la potenza istantanea aggiunta al sistema.,

I vincoli definiscono la direzione di movimento della particella assicurando che non vi sia alcun componente di velocità nella direzione della forza di vincolo. Ciò significa anche che le forze di vincolo non aggiungono alla potenza istantanea. L’integrale temporale di questa equazione scalare produce lavoro dalla potenza istantanea e energia cinetica dal prodotto scalare di velocità e accelerazione. Il fatto che il principio dell’energia di lavoro elimini le forze di vincolo è alla base della meccanica lagrangiana.

Questa sezione si concentra sul principio dell’energia del lavoro in quanto si applica alla dinamica delle particelle., In sistemi più generali il lavoro può cambiare l’energia potenziale di un dispositivo meccanico, l’energia termica in un sistema termico o l’energia elettrica in un dispositivo elettrico. Il lavoro trasferisce energia da un luogo all’altro o da una forma all’altra.

Derivazione per una particella che si muove lungo una linea rettamodifica

Nel caso in cui la forza risultante F sia costante sia in grandezza che in direzione, e parallela alla velocità della particella, la particella si muove con accelerazione costante a lungo una linea retta., Il rapporto tra le rettifiche di forza e l’accelerazione è data dall’equazione F = ma (la seconda legge di Newton), e la particella spostamento s può essere espressa dall’equazione

s = v 2 2 v 1 2 2 {\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}

che segue dalla v 2 2 = v 1 2 + 2 s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2} (vedi Equazioni del moto).

Il lavoro della forza netta viene calcolato come il prodotto della sua grandezza e lo spostamento delle particelle., = m a s = m ( v 2 2 v 1 2 2 s ) s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}

Nel caso generale di moto rettilineo, quando la forza risultante F non è costante in modulo, ma è costante in direzione, in parallelo con la velocità della particella, il lavoro deve essere integrato lungo il percorso della particella:

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m v d t = m ∫ t 1 t 2 v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m ( v 2 2 v 1 2 ) ., {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}

Derivazione generale del teorema dell’energia del lavoro per una particellamodifica

Per qualsiasi forza netta che agisce su una particella che si muove lungo un percorso curvilineo, si può dimostrare che il suo lavoro è uguale al cambiamento dell’energia cinetica della particella da una semplice derivazione analoga all’equazione sopra.,\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}} d v 2 d t = d ( v ⋅ v ) d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 a ⋅ v {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} } .,

La parte rimanente della derivazione di cui sopra è solo un semplice calcolo, come nel caso rettilineo precedente.

Derivazione per una particella in movimento vincolatomodifica

Nella dinamica delle particelle, una formula che equipara il lavoro applicato a un sistema al suo cambiamento nell’energia cinetica si ottiene come primo integrale della seconda legge del moto di Newton. È utile notare che la forza risultante utilizzata nelle leggi di Newton può essere separata in forze applicate alla particella e forze imposte dai vincoli sul movimento della particella., Sorprendentemente, il lavoro di una forza di vincolo è zero, quindi solo il lavoro delle forze applicate deve essere considerato nel principio dell’energia del lavoro.

Per vedere questo, considera una particella P che segue la traiettoria X(t) con una forza F che agisce su di essa. Isolare la particella dal suo ambiente per esporre le forze di vincolo R, quindi la Legge di Newton assume la forma

F + R = m X , {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}

dove m è la massa della particella.

formulationEdit vettoriale

Si noti che n punti sopra un vettore indica la sua ennesima derivata temporale.,Il prodotto scalare di ogni lato del la legge di Newton con il vettore velocità rendimenti

F ⋅ X = m X ⋅ X , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

perché il vincolo forze sono perpendicolari alla velocità delle particelle. Integra questa equazione lungo la sua traiettoria dal punto X(t1) al punto X (t2) per ottenere

∫ t 1 t 2 F X X d t = m ∫ t 1 t 2 X t X d t . In questo modo, il sistema di gestione delle risorse umane è in grado di garantire la sicurezza e la sicurezza di tutti gli utenti.,}

Il lato sinistro di questa equazione è il lavoro della forza applicata mentre agisce sulla particella lungo la traiettoria dal tempo t1 al tempo t2. Questo può anche essere scritto come

W = ∫ t 1 t 2 F X X d t = ∫ X (t 1 ) X ( t 2) F X d X . In questo caso, è necessario che il sistema di visualizzazione sia in grado di eseguire le operazioni di visualizzazione……………………………..}

Questo integrale è calcolato lungo la traiettoria X(t) della particella ed è quindi dipendente dal percorso.,

Il lato destro del primo integrale delle equazioni di Newton può essere semplificata utilizzando la seguente identità

1 2 d d t ( X ⋅ X ) = X ⋅ X , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

(vedere il prodotto regola di derivazione).,e is defined by the scalar quantity,

K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}

Tangential and normal componentsEdit

It is useful to resolve the velocity and acceleration vectors into tangential and normal components along the trajectory X(t), such that

X ˙ = v T and X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N , {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}

where

v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Quindi, il prodotto scalare della velocità con accelerazione la seconda legge di Newton assume la forma

Δ K = m ∫ t 1 t 2 v v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) , {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}

in cui l’energia cinetica della particella è definita dalla quantità scalare,

K = m 2 v 2 = m 2 X ⋅ X ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Il risultato è il principio dell’energia di lavoro per la dinamica delle particelle,

W = Δ K . {\displaystyle W= \ Delta K.\!}

Questa derivazione può essere generalizzata a sistemi di corpi rigidi arbitrari.

Muoversi in linea retta (slittare fino a fermarsi)Modifica

Considera il caso di un veicolo che si muove lungo una traiettoria orizzontale retta sotto l’azione di una forza motrice e gravità che sommano a F. Le forze di vincolo tra il veicolo e la strada definiscono R, e abbiamo

F + R = m X., Per maggiori informazioni clicca qui.} F x v = m v v . {\displaystyle F_{x}v = m {\dot {v}} v.}

L’integrazione di entrambi i lati produce

∫ t 1 t 2 F x v d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Se Fx è costante lungo la traiettoria, allora l’integrale della velocità è la distanza, quindi

F x ( d ( t 2 ) − d ( t 1 ) ) = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Ad esempio, considera un’auto che scivola fino a fermarsi, dove k è il coefficiente di attrito e W è il peso dell’auto. Quindi la forza lungo la traiettoria è Fx = – kW. La velocità v dell’auto può essere determinata dalla lunghezza s del pattino utilizzando il principio dell’energia di lavoro,

k W s = W 2 g v 2 o v = 2 k s g . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Si noti che questa formula utilizza il fatto che la massa del veicolo è m = W/g.

Costeggiando una strada di montagna (gravity racing)Modifica

Considera il caso di un veicolo che inizia a riposo e costeggia una strada di montagna, il principio dell’energia di lavoro aiuta a calcolare la distanza minima che il veicolo percorre per raggiungere una velocità V, di dire 60 mph (88 fps). La resistenza al rotolamento e la resistenza all’aria rallenteranno il veicolo, quindi la distanza effettiva sarà maggiore rispetto a se queste forze vengono trascurate.,

Lasciare che la traiettoria del veicolo che segue la strada sia X (t) che è una curva nello spazio tridimensionale. La forza che agisce sul veicolo che lo spinge lungo la strada è la forza di gravità costante F = (0, 0, W), mentre la forza della strada sul veicolo è la forza di vincolo R. La seconda legge di Newton produce,

F + R = m X . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Il prodotto scalare di questa equazione con la velocità, V = (vx, vy, vz), produce

W v z = m V V, {\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}} V,}

dove V è la grandezza di V., Le forze di vincolo tra il veicolo e la strada si annullano da questa equazione perché R V V = 0, il che significa che non funzionano.Integrare entrambi i lati per ottenere

∫ t 1 t 2 W v z d t = m 2 V 2 ( t 2 ) − m 2 V 2 ( t 1 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

La forza peso W è costante lungo la traiettoria e l’integrale della velocità verticale è la distanza verticale, quindi,

W Δ z = m 2 V 2 . {\displaystyle W \ Delta z={\frac {m}{2}} V ^ {2}.}

Ricorda che V (t1)=0., Si noti che questo risultato non dipende dalla forma della strada seguita dal veicolo.

Al fine di determinare la distanza lungo la strada assumere il downgrade è del 6%, che è una strada ripida. Ciò significa che l’altitudine diminuisce di 6 piedi per ogni 100 piedi percorsi – per angoli così piccoli le funzioni sin e tan sono approssimativamente uguali. Pertanto, la distanza s in piedi giù un grado 6% per raggiungere la velocità V è almeno

s = Δ z 0.06 = 8.3 V 2 g, o s = 8.3 88 2 32.2 ≈ 2000 ft . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,3 {\frac {88^{2}}{32.2}}\circa 2000 {\mbox {ft}}.}

Questa formula utilizza il fatto che il peso del veicolo è W = mg.