Una delle domande più frequenti che i lettori di questo archivio si pongono è: Chi ha scoperto zero? Perché allora non abbiamo scritto un articolo su zero come uno dei primi nell’archivio? Il motivo è fondamentalmente dovuto alla difficoltà di rispondere alla domanda in una forma soddisfacente. Se qualcuno fosse venuto con il concetto di zero che tutti poi visto come una brillante innovazione per entrare in matematica da quel momento in poi, la domanda avrebbe una risposta soddisfacente, anche se non sapevamo quale genio ha inventato., Il record storico, tuttavia, mostra un percorso abbastanza diverso verso il concetto. Zero fa apparizioni oscure solo per svanire di nuovo quasi come se i matematici lo stessero cercando, ma non ne riconoscessero il significato fondamentale nemmeno quando lo vedevano.
La prima cosa da dire su zero è che ci sono due usi di zero che sono entrambi estremamente importanti ma sono in qualche modo diversi. Un uso è come indicatore di posto vuoto nel nostro sistema di numeri di valore. Quindi in un numero come 2106 lo zero viene utilizzato in modo che le posizioni di 2 e 1 siano corrette., Chiaramente 216 significa qualcosa di molto diverso. Il secondo uso di zero è come un numero stesso nella forma in cui lo usiamo come 0. Ci sono anche diversi aspetti di zero all’interno di questi due usi, vale a dire il concetto, la notazione e il nome. (Il nostro nome “zero” deriva in definitiva dall’arabo sifr che ci dà anche la parola “cifra”.)
Nessuno degli usi di cui sopra ha una storia facilmente descritta. Semplicemente non è successo che qualcuno abbia inventato le idee, e poi tutti hanno iniziato a usarle. Inoltre è giusto dire che il numero zero è lontano da un concetto intuitivo., Problemi matematici iniziato come problemi’ reali ‘ piuttosto che problemi astratti. I numeri nei primi tempi storici sono stati pensati molto più concretamente dei concetti astratti che sono i nostri numeri oggi. Ci sono salti mentali giganti da 5 cavalli a 5 ” cose “e poi all’idea astratta di”cinque”. Se i popoli antichi risolvessero un problema su quanti cavalli aveva bisogno di un agricoltore, il problema non avrebbe avuto 0 o -23 come risposta.,
Si potrebbe pensare che una volta che un sistema di numero di luogo-valore è venuto in esistenza allora lo 0 come un indicatore di posto vuoto è un’idea necessaria, ma i babilonesi avevano un sistema di numero di luogo-valore senza questa caratteristica per oltre 1000 anni. Inoltre non vi è assolutamente alcuna prova che i babilonesi sentito che non vi era alcun problema con l’ambiguità che esisteva. Sorprendentemente, i testi originali sopravvivono dall’era della matematica babilonese. I babilonesi scrivevano su tavolette di argilla non cotta, usando la scrittura cuneiforme., I simboli erano premuti in tavolette di argilla morbida con il bordo inclinato di uno stilo e quindi avevano un aspetto a forma di cuneo (e da qui il nome cuneiforme). Molte tavolette del 1700 a.C. circa sopravvivono e possiamo leggere i testi originali. Naturalmente la loro notazione per i numeri era molto diversa dalla nostra (e non basata su 10 ma su 60) ma per tradurre nella nostra notazione non avrebbero distinto tra 2106 e 216 (il contesto avrebbe dovuto mostrare quale era destinato)., Non è stato fino a circa 400 BC che i Babylonians hanno messo due simboli del cuneo nel posto in cui metteremmo zero per indicare che è stato significato, 216 o 21 ” 6.
I due cunei non erano l’unica notazione utilizzata, tuttavia, e su una tavoletta trovata a Kish, un’antica città mesopotamica situata a est di Babilonia in quello che oggi è l’Iraq centro-meridionale, viene utilizzata una notazione diversa. Questo tablet, pensato fino ad oggi da circa 700 AC, utilizza tre ganci per indicare un posto vuoto nella notazione posizionale. Altre compresse datate da circa lo stesso tempo utilizzare un singolo gancio per un posto vuoto., C’è una caratteristica comune a questo uso di diversi segni per indicare una posizione vuota. Questo è il fatto che non si è mai verificato alla fine delle cifre ma sempre tra due cifre. Quindi anche se troviamo 21 “6 non troviamo mai 216”. Si deve supporre che la sensazione più antica che il contesto era sufficiente per indicare quale era destinato ancora applicato in questi casi.
Se questo riferimento al contesto appare sciocco, vale la pena notare che usiamo ancora il contesto per interpretare i numeri oggi., Se prendo un autobus per una città vicina e chiedo quale sia la tariffa, so che la risposta “Sono tre e cinquanta” significa tre sterline e cinquanta pence. Tuttavia, se la stessa risposta viene data alla domanda sul costo di un volo da Edimburgo a New York, allora so che trecentocinquanta sterline sono ciò che è previsto.
Possiamo vedere da questo che l’uso precoce di zero per indicare un posto vuoto non è in realtà l’uso di zero come un numero a tutti, semplicemente l’uso di un certo tipo di segno di punteggiatura in modo che i numeri avevano la corretta interpretazione.,
Ora gli antichi greci hanno iniziato i loro contributi alla matematica intorno al tempo che lo zero come un indicatore di posto vuoto è stato entrando in uso nella matematica babilonese. I greci tuttavia non adottarono un sistema di numeri posizionali. Vale la pena pensare a quanto sia significativo questo fatto. Come potevano i brillanti progressi matematici dei Greci non vederli adottare un sistema numerico con tutti i vantaggi che il sistema di valore posto babilonese possedeva?, La vera risposta a questa domanda è più sottile della semplice risposta che stiamo per dare, ma fondamentalmente i risultati matematici greci erano basati sulla geometria. Anche se Euclide Elementi contiene un libro sulla teoria dei numeri, si basa sulla geometria. In altre parole, i matematici greci non avevano bisogno di nominare i loro numeri poiché lavoravano con i numeri come lunghezze di linee. I numeri che dovevano essere nominati per i record erano usati dai commercianti, non dai matematici, e quindi non era necessaria alcuna notazione intelligente.
Ora c’erano delle eccezioni a quello che abbiamo appena dichiarato., Le eccezioni sono stati i matematici che sono stati coinvolti nella registrazione di dati astronomici. Qui troviamo il primo uso del simbolo che riconosciamo oggi come la notazione per zero, per gli astronomi greci hanno cominciato ad usare il simbolo O. Ci sono molte teorie perché questa particolare notazione è stata utilizzata. Alcuni storici preferiscono la spiegazione che si tratta di omicron, la prima lettera della parola greca per niente vale a dire “ouden”. Neugebauer, tuttavia, respinge questa spiegazione poiché i greci già usavano omicron come numero-rappresentava 70 (il sistema numerico greco era basato sul loro alfabeto)., Altre spiegazioni offerte includono il fatto che sta per “obol”, una moneta di quasi nessun valore, e che sorge quando i contatori sono stati utilizzati per contare su una tavola di sabbia. Il suggerimento qui è che quando un contatore è stato rimosso per lasciare una colonna vuota ha lasciato una depressione nella sabbia che sembrava O.
Tolomeo nell’Almagesto scritto intorno al 130 DC utilizza il sistema sessagesimale babilonese insieme con il posto vuoto titolare O., A questo punto Tolomeo sta usando il simbolo sia tra le cifre e alla fine di un numero e si potrebbe essere tentati di credere che almeno zero come un posto vuoto titolare era saldamente arrivato. Questo, tuttavia, è lontano da quello che è successo. Solo pochi astronomi eccezionali hanno usato la notazione e sarebbe caduta fuori uso molte altre volte prima di affermarsi definitivamente. L’idea del luogo zero (certamente non pensato come un numero da Tolomeo che ancora considerato come una sorta di segno di punteggiatura) fa la sua prossima apparizione nella matematica indiana.,
La scena si sposta ora in India, dove è giusto dire che i numeri e il sistema numerico è nato che si sono evoluti in quelli altamente sofisticati che usiamo oggi. Naturalmente questo non vuol dire che il sistema indiano non doveva qualcosa ai sistemi precedenti e molti storici della matematica ritengono che l’uso indiano di zero si sia evoluto dal suo uso da parte degli astronomi greci. Oltre ad alcuni storici che sembrano voler minimizzare il contributo degli indiani in modo irragionevole, ci sono anche quelli che fanno affermazioni sull’invenzione indiana di zero che sembrano andare troppo lontano., Ad esempio Mukherjee nelle attestazioni:-

… la concezione matematica dello zero … era presente anche nella forma spirituale da 17 000 anni fa in India.

Ciò che è certo è che intorno a 650AD l’uso di zero come numero è entrato nella matematica indiana. Gli indiani usavano anche un sistema di valore nominale e zero era usato per indicare un posto vuoto. In realtà ci sono prove di un titolare posto vuoto in numeri posizionali fin dal 200AD in India, ma alcuni storici respingono questi come falsi successivi., Esaminiamo prima quest’ultimo uso poiché continua lo sviluppo sopra descritto.
In circa 500AD Aryabhata ideato un sistema numerico che non ha ancora zero era un sistema posizionale. Ha usato la parola “kha” per la posizione e sarebbe stato usato in seguito come il nome per zero. Ci sono prove che un punto era stato usato in precedenti manoscritti indiani per indicare un posto vuoto nella notazione posizionale. È interessante notare che gli stessi documenti a volte usavano anche un punto per indicare uno sconosciuto dove potremmo usare xxx., Più tardi i matematici indiani avevano nomi per zero in numeri posizionali ma non avevano alcun simbolo per questo. Il primo record dell’uso indiano di zero che è datato e concordato da tutti per essere genuino è stato scritto in 876.
Abbiamo un’iscrizione su una tavoletta di pietra che contiene una data che si traduce in 876. L’iscrizione riguarda la città di Gwalior, 400 km a sud di Delhi, dove hanno piantato un giardino 187 da 270 hastas che produrrebbe abbastanza fiori per consentire 50 ghirlande al giorno per essere dato al tempio locale., Entrambi i numeri 270 e 50 sono indicati quasi come appaiono oggi, anche se lo 0 è più piccolo e leggermente sollevato.
Veniamo ora a considerare la prima apparizione di zero come un numero. Notiamo innanzitutto che non è in alcun modo un candidato naturale per un numero. Fin dai primi tempi i numeri sono parole che si riferiscono a collezioni di oggetti. Certamente l’idea del numero è diventata sempre più astratta e questa astrazione rende quindi possibile la considerazione di numeri zero e negativi che non sorgono come proprietà di collezioni di oggetti., Naturalmente il problema che sorge quando si cerca di considerare zero e negativi come numeri è come interagiscono per quanto riguarda le operazioni di aritmetica, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. In tre libri importanti i matematici indiani Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara hanno cercato di rispondere a queste domande.
Brahmagupta ha tentato di dare le regole per l’aritmetica che coinvolgono zero e numeri negativi nel settimo secolo. Ha spiegato che dato un numero, se lo sottrai da se stesso ottieni zero., Ha dato le seguenti regole per l’aggiunta che coinvolgono zero:-

La somma di zero e un numero negativo è negativo, la somma di un numero positivo e zero è positivo, la somma di zero e zero è zero.

Sottrazione è un po ‘ più difficile:-

Un numero negativo sottratto da zero è positivo, un numero positivo sottratto da zero è negativo, zero sottratto da un numero negativo è negativo, zero sottratto da un numero positivo è positivo, zero sottratto da zero è zero.,

Brahmagupta quindi dice che qualsiasi numero quando moltiplicato per zero è zero ma lotta quando si tratta di divisione:-

Un numero positivo o negativo quando diviso per zero è una frazione con lo zero come denominatore. Zero diviso per un numero negativo o positivo è zero o è espresso come una frazione con zero come numeratore e la quantità finita come denominatore. Zero diviso per zero è zero.

Davvero Brahmagupta sta dicendo molto poco quando suggerisce che nnn diviso per zero è n/0n/0n/0. Chiaramente sta lottando qui., È certamente sbagliato quando afferma che zero diviso per zero è zero. Tuttavia è un brillante tentativo della prima persona che conosciamo che ha cercato di estendere l’aritmetica a numeri negativi e zero.
Nel 830, circa 200 anni dopo Brahmagupta ha scritto il suo capolavoro, Mahavira ha scritto Ganita Sara Samgraha che è stato progettato come un aggiornamento del libro di Brahmagupta. Egli afferma correttamente che: –

… un numero moltiplicato per zero è zero e un numero rimane lo stesso quando zero viene sottratto da esso.,

Tuttavia i suoi tentativi di migliorare le dichiarazioni di Brahmagupta sulla divisione per zero sembrano portarlo in errore. Scrive:-

Un numero rimane invariato se diviso per zero.

Poiché questo è chiaramente errato il mio uso delle parole “sembra portarlo in errore” potrebbe essere visto come confuso. La ragione di questa frase è che alcuni commentatori su Mahavira hanno cercato di trovare scuse per la sua affermazione errata.
Bhaskara ha scritto più di 500 anni dopo Brahmagupta., Nonostante il passare del tempo sta ancora lottando per spiegare la divisione per zero. Scrive:-

Una quantità divisa per zero diventa una frazione il cui denominatore è zero. Questa frazione è definita una quantità infinita. In questa quantità che consiste di ciò che ha zero per il suo divisore, non vi è alcuna alterazione, anche se molti possono essere inseriti o estratti; come nessun cambiamento avviene nel Dio infinito e immutabile quando i mondi sono creati o distrutti, anche se numerosi ordini di esseri sono assorbiti o messi avanti.,

Quindi Bhaskara ha cercato di risolvere il problema scrivendo n0=∞\large\frac{n}{0}\normalsize = ∞0n=∞. A prima vista potremmo essere tentati di credere che Bhaskara lo abbia corretto, ma ovviamente non lo fa. Se questo fosse vero allora 0 × ∞ deve essere uguale ad ogni numero nnn, quindi tutti i numeri sono uguali. I matematici indiani non potevano arrivare al punto di ammettere che non si poteva dividere per zero. Bhaskara ha dichiarato correttamente altre proprietà di zero, tuttavia, come ad esempio 02=00^{2} = 002=0, e √0=0√0 = 0√0=0.,

Forse dovremmo notare a questo punto che c’era un’altra civiltà che ha sviluppato un sistema di numero di luogo-valore con uno zero. Questo era il popolo Maya che viveva in America centrale, occupando l’area che oggi è il Messico meridionale, il Guatemala e il Belize settentrionale. Questa era una civiltà antica, ma fiorì in particolare tra il 250 e il 900. Sappiamo che con 665 hanno usato un sistema di numeri di valore nominale per basare 20 con un simbolo per zero. Tuttavia, il loro uso di zero risale oltre questo ed era in uso prima di introdurre il sistema numerico a valore posto., Questo è un risultato notevole, ma purtroppo non ha influenzato altri popoli.
Puoi vedere un articolo separato sulla matematica Maya.
Il brillante lavoro dei matematici indiani è stato trasmesso ai matematici islamici e arabi più a ovest. E ‘venuto in una fase iniziale per al-Khwarizmi ha scritto Al’Khwarizmi sull” arte indù della resa dei conti che descrive il sistema di luogo-valore indiano di numeri basati su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e 0. Questo lavoro è stato il primo in quello che oggi è l’Iraq ad usare zero come segnaposto nella notazione di base posizionale., Ibn Ezra, nel 12 ° secolo, ha scritto tre trattati sui numeri che hanno contribuito a portare i simboli indiani e le idee di frazioni decimali all’attenzione di alcune delle persone apprese in Europa. Il Libro del Numero descrive il sistema decimale per gli interi con valori di posizione da sinistra a destra. In questo lavoro ibn Ezra usa zero che chiama galgal (che significa ruota o cerchio). Un po ‘più tardi nel 12 ° secolo al-Samawal stava scrivendo:-

Se sottraiamo un numero positivo da zero rimane lo stesso numero negativo. …, se sottraiamo un numero negativo da zero rimane lo stesso numero positivo.

Le idee indiane si sono diffuse ad est in Cina e ad ovest nei paesi islamici. Nel 1247 il matematico cinese Qin Jiushao ha scritto trattato matematico in nove sezioni che utilizza il simbolo O per zero. Poco dopo, nel 1303, Zhu Shijie scrisse Jade mirror of the four elements che utilizza nuovamente il simbolo O per zero.
Fibonacci è stata una delle persone principali per portare queste nuove idee sul sistema numerico in Europa., Come scrivono gli autori di:-

Un importante collegamento tra il sistema numerico indù-arabo e la matematica europea è il matematico italiano Fibonacci.

Nel Liber Abaci described descrisse i nove simboli indiani insieme al segno 0 per gli europei intorno al 1200, ma non fu ampiamente usato per molto tempo dopo. È significativo che Fibonacci non sia abbastanza audace da trattare 0 allo stesso modo degli altri numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 poiché parla del” segno ” zero mentre gli altri simboli di cui parla come numeri., Anche se chiaramente portando i numeri indiani in Europa è stato di grande importanza possiamo vedere che nel suo trattamento di zero non ha raggiunto la raffinatezza degli indiani Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara né dei matematici arabi e islamici come al-Samawal.
Si potrebbe pensare che il progresso dei sistemi numerici in generale, e zero in particolare, sarebbe stato costante da questo momento in poi. Tuttavia, questo era lontano dal caso. Cardan ha risolto equazioni cubiche e quartiche senza usare zero., Avrebbe trovato il suo lavoro nel 1500 molto più facile se avesse avuto uno zero, ma non era parte della sua matematica. Dal 1600 lo zero ha cominciato a venire in uso diffuso, ma ancora solo dopo aver incontrato un sacco di resistenza.
Naturalmente ci sono ancora segni dei problemi causati da zero. Recentemente molte persone in tutto il mondo hanno celebrato il nuovo millennio il 1 ° gennaio 2000. Naturalmente hanno celebrato il passaggio di soli 1999 anni da quando il calendario è stato istituito nessun anno zero è stato specificato., Anche se si potrebbe perdonare l’errore originale, è un po ‘ sorprendente che la maggior parte delle persone sembrava incapace di capire perché il terzo millennio e il 21 ° secolo iniziano il 1 ° gennaio 2001. Zero sta ancora causando problemi!