The number m is a square number if and only if one can arrange m points in a square:

The expression for the nth square number is n2., Questo è anche uguale alla somma dei primi n numeri dispari come si può vedere nelle immagini sopra, dove un quadrato risulta dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti (mostrato in magenta). La formula segue:

n 2 = k k = 1 n ( 2 k − 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1} ^ {n} (2k-1).}

Per esempio, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.,

Un numero inferiore a un quadrato (m − 1) è sempre il prodotto di √m − 1 e √m + 1 (ad esempio, 8 × 6 è uguale a 48, mentre 72 è uguale a 49). Quindi, 3 è l’unico numero primo uno inferiore a un quadrato.

Un numero quadrato è anche la somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.

Un’altra proprietà di un numero quadrato è che (tranne 0) ha un numero dispari di divisori positivi, mentre altri numeri naturali hanno un numero pari di divisori positivi., Una radice intera è l’unico divisore che si accoppia con se stesso per produrre il numero quadrato, mentre altri divisori vengono in coppia.

Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange afferma che qualsiasi intero positivo può essere scritto come la somma di quattro o meno quadrati perfetti. Tre quadrati non sono sufficienti per i numeri della forma 4k (8m + 7). Un intero positivo può essere rappresentato come una somma di due quadrati precisamente se la sua fattorizzazione prime non contiene potenze dispari di numeri primi della forma 4k + 3. Questo è generalizzato dal problema di Waring.,

In base 10 di un numero quadrato può finire solo con le cifre 0, 1, 4, 5, 6 o 9, come segue:

• se l’ultima cifra di un numero è 0, la piazza finisce 0 (infatti, le ultime due cifre deve essere 00);
• se l’ultima cifra di un numero è 1 o 9, la sua piazza si conclude in 1;
• se l’ultima cifra di un numero di 2 o 8, la piazza si conclude in 4;
• se l’ultima cifra di un numero di 3 o 7, la piazza finisce in 9;
• se l’ultima cifra di un numero di 4 o 6, la piazza si conclude in 6;
• se l’ultima cifra di un numero è 5, la sua piazza che si finisce in 5 (infatti, le ultime due cifre deve essere di 25).,

In base 12, un numero quadrato può finire solo con piazza cifre (come in base 12, un numero primo può finire solo con le prime cifre o 1), 0, 1, 4 o 9, come segue:

• se un numero è divisibile sia per 2 e da 3 (che è divisibile per 6), la piazza finisce a 0;
• se un numero è divisibile né per 2 né 3, la sua piazza si conclude in 1;
• se un numero è divisibile per 2 ma non per 3, la sua piazza si conclude in 4; e
• se un numero non è divisibile per 2, ma 3, la piazza finisce in 9.,

Regole simili possono essere date per altre basi o per cifre precedenti (le decine invece della cifra delle unità, per esempio). Tutte queste regole possono essere dimostrate controllando un numero fisso di casi e utilizzando l’aritmetica modulare.

In generale, se un primo p divide un numero quadrato m allora il quadrato di p deve anche dividere m; se p non riesce a dividere m/p, allora m non è sicuramente quadrato. Ripetendo le divisioni della frase precedente, si conclude che ogni primo deve dividere un dato quadrato perfetto un numero pari di volte (incluso possibilmente 0 volte)., Quindi, il numero m è un numero quadrato se e solo se, nella sua rappresentazione canonica, tutti gli esponenti sono pari.

Il test di squarity può essere usato come modo alternativo nella fattorizzazione di grandi numeri. Invece di testare la divisibilità, prova la squarità: per dato m e qualche numero k, se k2-m è il quadrato di un intero n, allora k-n divide m. (Questa è un’applicazione della fattorizzazione di una differenza di due quadrati.) Ad esempio, 1002 − 9991 è il quadrato di 3, quindi di conseguenza 100 − 3 divide 9991., Questo test è deterministico per divisori dispari nell’intervallo da k-n a k + n dove k copre un intervallo di numeri naturali k ≥ √m.

Un numero quadrato non può essere un numero perfetto.

La somma degli n primi numeri quadrati è

n n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 = N ( N + 1) (2 N + 1 ) 6 . {\displaystyle \ sum _{n=0}^{N} n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N + 1) (2N+1)} {6}}.,}

I primi valori di queste somme, piazza piramidale numeri, sono: (sequenza A000330 in OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

La somma dei primi numeri interi dispari, che iniziano con uno, è un quadrato perfetto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, ecc.

La somma degli n primi cubi è il quadrato della somma degli n primi interi positivi; questo è il teorema di Nicomaco.,

Tutti i quarti poteri, sesto poteri, ottavo poteri e così via sono quadrati perfetti.