Con il carico diagramma disegnato il passo successivo è quello di trovare il valore della forza di taglio e momento, in qualsiasi punto lungo l’elemento. Per un raggio orizzontale un modo per eseguire questo è in qualsiasi punto di “tagliare” l’estremità destra del raggio.

L’esempio seguente include un carico puntuale, un carico distribuito e un momento applicato. I supporti includono sia supporti incernierati che un supporto terminale fisso., Il primo disegno mostra il raggio con le forze applicate e i vincoli di spostamento. Il secondo disegno è il diagramma di caricamento con i valori di reazione dati senza i calcoli mostrati o quello che la maggior parte delle persone chiama un diagramma a corpo libero. Il terzo disegno è il diagramma della forza di taglio e il quarto disegno è il diagramma del momento flettente. Per il diagramma del momento flettente è stata utilizzata la convenzione del segno normale. Sotto il diagramma del momento sono le funzioni graduali per la forza di taglio e il momento flettente con le funzioni espanse per mostrare gli effetti di ciascun carico sulle funzioni di taglio e piegatura.,

Step 1: Calcolare le forze di reazione e momentsEdit

Il primo passo per ottenere il momento flettente e del taglio forza di equazioni è quello di determinare le forze di reazione. Questo viene fatto usando un diagramma a corpo libero dell’intero raggio.

Il fascio ha tre forze di reazione, Ra, Rb ai due supporti e Rc all’estremità bloccata. L’estremità bloccata ha anche una coppia di reazione Mc., Queste quattro quantità devono essere determinate usando due equazioni, l’equilibrio delle forze nel raggio e l’equilibrio dei momenti nel raggio. Quattro incognite non possono essere trovate date due equazioni indipendenti in queste variabili sconosciute e quindi il raggio è staticamente indeterminato. Un modo per risolvere questo problema è usare il principio della sovrapposizione lineare e rompere il problema nella sovrapposizione di un numero di problemi staticamente determinati., Le condizioni al contorno extra ai supporti devono essere incorporate nella soluzione sovrapposta in modo che la deformazione dell’intera trave sia compatibile.

Dal diagramma a corpo libero dell’intero raggio abbiamo le due equazioni di equilibrio

F F = 0, M M A = 0 . {\displaystyle \ sum F=0~,~~ \ sum M_{A}=0\,.}

la Somma delle forze, abbiamo

− 10 − ( 1 ) ( 15 ) + R a + R b + R c = 0 {\displaystyle -10-(1)(15)+R_{a}+R_{b}+R{c}=0}

e sommando i momenti intorno l’estremità libera (A) abbiamo

( R ) ( 10 ) + ( R b ) ( 25 ) + ( R c ) ( 50 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 17.5 ) − 50 + M c = 0 ., {\stile di visualizzazione (R_{a}) (10)+(R_{b}) (25)+(R_ {c})(50)-(1)(15)(17.5)-50+M_{c}=0\,.}

Possiamo risolvere queste equazioni per Rb e Rc in termini di Ra e Mc :

R b = 37.5 − 1.6 R a + 0.04 M c {\displaystyle R_{b}=37.5-1.6R_{a}+0.04M_{c}}

e

R c = − 12.5 + 0.6 R a − 0.04 M c . {\displaystyle R_{c}=-12.5+0. 6R_{a}-0. 04M_{c}\,.}

Se sommiamo i momenti sul primo supporto dalla sinistra del raggio abbiamo

( 10 ) ( 10 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R b) ( 15) + (R c) (40) − 50 + M c = 0 . {\stile di visualizzazione (10)(10)-(1)(15)(7.5)+(R_{b})(15)+(R_{c})(40)-50 + M_ {c}=0\,.,}

Se inseriamo le espressioni per Rb e Rc otteniamo l’identità banale 0 = 0 che indica che questa equazione non è indipendente dalle due precedenti. Allo stesso modo, se prendiamo momenti intorno al secondo supporto, abbiamo

( 10) ( 25 − – (R a ) ( 15 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R c ) ( 25) – 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10) (25)-(R_ {a})(15)+(1)(15)(7.5)+(R_{c}) (25) -50+M_{c}=0\,.}

Ancora una volta troviamo che questa equazione non è indipendente dalle prime due equazioni., Potremmo anche provare a calcolare i momenti attorno all’estremità bloccata del raggio per ottenere

( 10 ) ( 50 ) − ( R a ) ( 40) – (R b ) ( 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 32.5 ) − 50 + M c = 0 . {\stile di visualizzazione (10)(50)-(R_{a})(40)-(R_ {b})(25)+(1)(15)(32.5)-50+M_{c}=0\,.}

Questa equazione risulta anche non essere linearmente indipendente dalle altre due equazioni. Pertanto, il raggio è staticamente indeterminato e dovremo trovare i momenti flettenti nei segmenti del raggio come funzioni di Ra e Mc.,

Passo 2: Rompere il fascio in segmentimodifica

Dopo aver trovato le forze di reazione, si rompe il fascio in pezzi. La posizione e il numero di forze esterne sul membro determinano il numero e la posizione di questi pezzi. Il primo pezzo inizia sempre da un’estremità e termina ovunque prima della prima forza esterna.,

Step 3: Calcolare le forze di taglio e momenti – primo pieceEdit

Lasciate che il V1 e M1 essere la forza di taglio e momento flettente, rispettivamente, in una sezione trasversale del primo fascio di segmento. Quando la sezione del raggio si sposta verso il punto di applicazione della forza esterna, le grandezze della forza di taglio e del momento possono cambiare. Ciò rende la forza di taglio e il momento flettente una funzione della posizione della sezione trasversale (in questo esempio x).,

Sommando le forze lungo questo segmento e sommando i momenti, si ottengono le equazioni per la forza di taglio e il momento flettente. Queste equazioni sono:

F F = − 10 − V 1 = 0 {\displaystyle \sum F=-10-V_{1}=0}

e

A = − V 1 x + M 1 = 0 . {\displaystyle \ sum M_{A}= – V_{1} x + M_{1} = 0\,.}

Quindi,

V 1 = − 10 e M 1 = – 10 x . {\displaystyle V_{1}=-10 \ quad {\text {e}} \ quad M_{1}= – 10x\,.,}

Fase 4: Calcolo delle forze di taglio e momenti – secondo pieceEdit

Prendere il secondo segmento, ovunque finale prima della seconda forza interna, abbiamo

∑ F = − 10 + R a − ( 1 ) ( x − 10 ) − V 2 = 0 {\displaystyle \sum F=-10+R{a}-(1)(x-10)-V_{2}=0}

e

∑ M = R ( 10 ) − ( 1 ) ( x − 10 ) ( x + 10 ) 2 − V 2 x + M 2 = 0 . {\displaystyle \ sum M_{A}=R_{a}(10)-(1) (x-10) {\frac {(x + 10)} {2}}-V_{2} x+M_{2}=0\,.,}

Quindi,

V 2 = R a-x e M 2 = – 50 + R a ( x − 10) – x 2 2. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.^{2}}{2}}\,.}

Si noti che poiché la forza di taglio è in termini di x, l’equazione del momento è al quadrato. Ciò è dovuto al fatto che il momento è l’integrale della forza di taglio. La parte difficile di questo momento è la forza distribuita. Poiché la forza cambia con la lunghezza del segmento, la forza verrà moltiplicata per la distanza dopo 10 ft. ossia., (x-10) la posizione del momento è definita nel mezzo della forza distribuita, che sta anche cambiando. Questo è dove (x+10)/2 è derivato da.

In alternativa, possiamo prendere momenti sulla sezione trasversale per ottenere

M M A = 10 x-R a ( x − 10 ) + ( 1 ) ( x − 10 ) ( x − 10 ) 2 + M 2 = 0 . {\displaystyle \ sum M_{A}=10x-R_{a}(x-10)+(1)(x-10){\frac {(x-10)}{2}}+M_{2}=0\,.}

Di nuovo, in questo caso,

M 2 = – 50 + R a ( x − 10) – x 2 2 . {\displaystyle M_{2}=-50 + R_{a} (x-10) – {\frac {x^{2}}{2}}\,.,}

Passo 5: Calcolo delle forze di taglio e momenti – terzo pieceEdit

Prendere il terzo segmento, e la somma delle forze, abbiamo

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 3 = 0 {\displaystyle -10+R{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{3}=0}

e, sommando i momenti della sezione trasversale, si ottiene

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) + M 3 = 0 . {\stile di visualizzazione (10)(x) – R_{a} (x-10) – R_{b} (x-25)+(1)(15)(x-17.5)+M_{3}=0\,.,}

Dunque

V 3 = 25 − R a − R b = R c {\displaystyle V_{3}=25-R_{a}-R_{b}=R{c}}

e

M 3 = 262.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = − 675 + R ( 30 − 0,6 x ) − M c ( 1 − 0,04 x ) + 12.5 x . {\displaystyle M_{3}=262.5+R_{a}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-675+R_{a}(30-0.6 x)-M_{c}(1-0.04 x)+12.5 x\,.}

Si noti che la forza distribuita può ora essere considerata una forza di 15 kip che agisce nel mezzo di dove è posizionata.,

Passo 6: Calcolo delle forze di taglio e momenti – quarto pieceEdit

Prendere il quarto e ultimo segmento, un equilibrio di forze dà

− 10 + R a + R b − ( 1 ) ( 15 ) − V 4 = 0 {\displaystyle -10+R{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{4}=0}

e di un equilibrio di momenti intorno, la sezione porta a

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x − 17.5 ) − 50 + M 4 = 0 . {\stile di visualizzazione (10)(x) – R_{a} (x-10) – R_{b} (x-25)+(1)(15)(x-17.,5)-50 + M_{4}=0\,.}

Risoluzione dei problemi per V4 e M4, abbiamo

V 4 = 25 − R a − R b = R c {\displaystyle V_{4}=25-R_{a}-R_{b}=R{c}}

e

M 4 = 312.5 + R ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = 625 + R ( 30 − 0,6 x ) + M c ( 0,04 x − 1 ) + 12.5 x . {\displaystyle M_{4}=312.5+R_{a}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-625+R_{a}(30-0.6 x)+M_{c}(0.04 x-1)+12.5 x\,.}

Tracciando ciascuna di queste equazioni sugli intervalli previsti, si ottengono i diagrammi del momento flettente e della forza di taglio per questo raggio. In particolare, all’estremità bloccata del raggio, x = 50 e abbiamo

M 4 = M c − – 937,5 + 40 R a + 25 R b ., {\displaystyle M_{4}=M_{c} = -937.5 + 40R_{a} + 25R_{b}\,.}

Passo 7: Calcolo delle deflessioni dei quattro segmentimodifica

Ora usiamo la teoria del fascio di Eulero-Bernoulli per calcolare le deflessioni dei quattro segmenti. L’equazione differenziale che mette in relazione la deflessione del fascio (w) al momento flettente (M) è

d 2 w d x 2 = – M E I {\displaystyle {\frac {d^{2} w} {dx^{2}}}=-{\frac{M} {EI}}}

dove E è il modulo di Young e I è il momento d’inerzia della sezione trasversale del fascio., 2 = 1 24 E I x 2 + C 3 + 4 x w 3 = 1 100 E I + C 5 + C 6 x w 4 = 1 100 E I + C 7 + C 8 x {\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {5}{3EI}}\,x^{3}+C_{1}+C_{2}\,x\\w_{2}&={\frac {1}{24EI}}\,x^{2}\,\left+C_{3}+C_{4}\,x\\w_{3}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{5}+C_{6}\,x\\w_{4}&={\frac {1}{100EI}}\left+C_{7}+C_{8}\,x\end{aligned}}}

Passo 8: Applicare confine conditionsEdit

Ora si applicherà spostamento delle condizioni al contorno per i quattro segmenti per determinare le costanti di integrazione.,

Per il quarto segmento del raggio, consideriamo le condizioni al contorno all’estremità bloccata dove w4 = dw/dx = 0 a x = 50. Risolvere per C7 e C8 dà

C 7 = – 1250 3 E I ( − 625 + M c + 30 R a ) e C 8 = 125 E I (- 125 + 6 R a ) . {\displaystyle C_{7}=-{\frac {1250} {3EI}} (-625+M_{c}+30R_{a}) \ quad {\text {e}} \ quad C_{8} = {\frac {125} {EI}} (-125+6R_{a})\,.}

Pertanto, possiamo esprimere w4 come

w 4 = – 1 300 E I (x − 50 ) 2 . {\displaystyle w_{4}= – {\frac {1}{300EI}}(x-50)^{2}\left\,.}

Ora, w4 = w3 a x = 37.5 (il punto di applicazione della coppia esterna)., Inoltre, le pendenze delle curve di deflessione a questo punto sono le stesse, cioè dw4 / dx = dw3 / dx. Usando queste condizioni al contorno e risolvendo per C5 e C6, otteniamo

C 5 = − 625 12 E I (−5675 + 8 M c + 240 R a ) e C 6 = 250 E I ( 3 R a-70 ) . {\displaystyle C_{5}= – {\frac {625}{12EI}} (-5675+8M_{c} + 240R_{a}) \ quad {\text {e}} \ quad C_{6} = {\frac {250} {EI}}\left(3R_{a} -70\right)\,.}

La sostituzione di queste costanti nell’espressione per w3 ci dà

w 3 = 1 300 E I . {\displaystyle {\begin {aligned}w_ {3}={\frac {1}{300EI}} {\Bigl}\,.,\ end{aligned}}}

Allo stesso modo, al supporto tra i segmenti 2 e 3 dove x = 25, w3 = w2 e dw3/dx = dw2/dx. Usando questi e risolvendo per C3 e C4 si ottiene

C 3 = – 3125 24 E I ( − 1645 + 4 M c + 64 R a ) e C 4 = 25 12 E I (- 40325 + 6 M c + 120 R a ) . {\displaystyle C_{3}=-{\frac {3125}{24EI}}(-1645+4M_{c}+64R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{4}={\frac {25}{12EI}}\left(-40325+6M_{c}+120R_{a}\right)\,.}

Quindi,

w 2 = 1 24 E I . {\displaystyle {\begin {aligned}w_ {2}={\frac {1}{24EI}} {\Bigl}\,.,\ end {aligned}}}

Al supporto tra i segmenti 1 e 2, x = 10 e w1 = w2 e dw1/dx = dw2/dx. Queste condizioni al contorno ci danno

C 1 = – 125 24 E I ( − 40145 + 100 M c + 1632 R a ) e C 2 = 25 4 E I (- 1315 + 2 M c + 48 R a ) . {\displaystyle C_{1}=-{\frac {125}{24EI}}(-40145+100M_{c}+1632R_{a})\quad {\text{e}}\quad C_{2}={\frac {25}{4EI}}(-1315+2M_{c}+48R_{a})\,.}

Quindi,

w 1 = 5 24 E I . {\displaystyle w_{1}={\frac {5}{24EI}}\left\,.}

Passo 9: Risolvi per Mc e RaEdit

Perché w2 = 0 a x = 25, possiamo risolvere per Mc in termini di Ra per ottenere

M c = 175-7.,5 R a . {\displaystyle M_{c}=175-7. 5R_{a}\,.}

Inoltre, poiché w1 = 0 a x = 10, esprimendo la deflessione in termini di Ra (dopo aver eliminato Mc) e risolvendo per Ra, dà

R a = 25.278 M M c = − 14.585 . {\displaystyle R_{a}=25.278 \ quad \ implica \ quad M_{c} = -14.585\,.,}

Passo 10: Trama del momento flettente e taglio a forza diagramsEdit

Possiamo ora calcolare le reazioni Rb e Rc, il momento flettente M1, M2, M3, M4, e le forze di taglio V1, V2, V3, V4. Queste espressioni possono quindi essere tracciate in funzione della lunghezza per ciascun segmento.,

Relazione tra forza di taglio e momento flettentemodifica

È importante notare la relazione tra i due diagrammi. Il diagramma del momento è una rappresentazione visiva dell’area sotto il diagramma della forza di taglio. Cioè, il momento è l’integrale della forza di taglio. Se la forza di taglio è costante su un intervallo, l’equazione del momento sarà in termini di x (lineare). Se la forza di taglio è lineare su un intervallo, l’equazione del momento sarà quadratica (parabolica).

Un’altra nota sui diagrammi della forza di taglio è che mostrano dove vengono applicate la forza esterna e i momenti., Senza forze esterne, le funzioni a tratti dovrebbero attaccarsi e non mostrare discontinuità. Le discontinuità sui grafici sono la grandezza esatta della forza esterna o dei momenti esterni applicati. Ad esempio, a x = 10 sul diagramma della forza di taglio, c’è uno spazio tra le due equazioni. Questo divario va da -10 a 15.3. La lunghezza di questo intervallo è 25.3, l’esatta grandezza della forza esterna in quel punto. Nella sezione 3 del diagramma del momento, c’è una discontinuità di 50. Questo è dal momento applicato di 50 sulla struttura., I valori massimo e minimo sui grafici rappresentano le forze e i momenti massimi che questo raggio avrà in queste circostanze.