Supponiamo che la funzione di utilità consumer sia definita da U ( x , y ) {\displaystyle U(x,y)} , dove U è utilità consumer, x e y sono beni. Quindi il tasso marginale di sostituzione può essere calcolato tramite differenziazione parziale, come segue.,y la funzione di equazione, otteniamo i seguenti risultati:

d U = ( ∂ U / ∂ x ) d x + ( ∂ U / ∂ y ) d y {\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy} , sostituendo o da sopra, d U = M U x d x + M U y d y {\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy} , o, senza perdita di generalità, il totale derivata della funzione di utilità rispetto a x, d U d x = M U x d x d x + M U y d y d x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} , che è, d U d x = M U x M U y d y d x {\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} .,

Attraverso qualsiasi punto della curva di indifferenza, dU / dx = 0, perché U = c, dove c è una costante. Segue dall’equazione di cui sopra che:

0 = M U x M U y d y d x {\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}} , o riorganizzare − d y d x = M U x M U y {\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}

Il tasso marginale di sostituzione è definito come il valore assoluto della pendenza della curva di indifferenza a qualunque merce bundle quantità di interesse. Che risulta uguale al rapporto delle utilità marginali:

M R S x y = M U x / M U y ., il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.\,} .,\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }} − ( M, R, S, x, y ) = − ( P x / P y ) {\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P{y})} M R S x y = P x / P y {\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P{y}}

Quindi, quando il consumatore sceglie la sua utilità ingrandita del paniere di mercato la sua linea di bilancio,

M U x M U y = P x / P y {\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P{x}/P{y}} M U x / P x = M U y / P y {\displaystyle \ MU_{x}/P{x}=MU_{y}/P{y}}

Questo importante risultato ci dice che l’utilità è massima per il consumatore budget allocato in modo che l’utilità marginale per unità di denaro speso è pari, per ogni bene., Se questa uguaglianza non ha tenuto, il consumatore potrebbe aumentare la sua utilità tagliando la spesa per il bene con utilità marginale inferiore per unità di denaro e aumentare la spesa per l’altro bene. Per diminuire il tasso marginale di sostituzione, il consumatore deve acquistare più del bene per il quale desidera che l’utilità marginale cada (a causa della legge dell’utilità marginale decrescente).