Cu încărcare diagrama trasată următorul pas este de a găsi valoarea forței tăietoare și de moment, de la orice punct de-a lungul elementului. Pentru un fascicul orizontal, o modalitate de a efectua acest lucru este în orice moment să „tăiați” capătul drept al fasciculului.

exemplul de mai jos include o sarcină punctuală, o sarcină distribuită și un moment aplicat. Suporturile includ atât suporturi articulate, cât și un suport fix., Primul desen prezintă fasciculul cu forțele aplicate și constrângerile de deplasare. Al doilea desen este diagrama de încărcare cu valorile de reacție date fără calculele arătate sau ceea ce majoritatea oamenilor numesc o diagramă a corpului liber. Al treilea desen este diagrama forței de forfecare, iar al patrulea desen este diagrama momentului de încovoiere. Pentru diagrama momentului încovoietor s-a folosit Convenția semnului normal. Sub diagrama momentului sunt funcțiile treptate pentru forța de forfecare și momentul de îndoire, cu funcțiile extinse pentru a arăta efectele fiecărei sarcini asupra funcțiilor de forfecare și îndoire.,

Pasul 1: Calcula forțele de reacție și momentsEdit

primul pas în obținerea momentul de încovoiere și forța tăietoare de ecuații este de a determina forțele de reacție. Aceasta se face folosind o diagramă a corpului liber al întregului fascicul.fasciculul are trei forțe de reacție, Ra, Rb la cele două suporturi și Rc la capătul fixat. Capătul fixat are, de asemenea, un cuplu de reacție Mc., Aceste patru cantități trebuie determinate folosind două ecuații, echilibrul forțelor din fascicul și echilibrul momentelor din fascicul. Patru necunoscute nu pot fi găsite având în vedere două ecuații independente în aceste variabile necunoscute și, prin urmare, fasciculul este static nedeterminat. O modalitate de a rezolva această problemă este de a folosi principiul suprapunerii liniare și de a sparge problema în suprapunerea unui număr de probleme determinate static., Condițiile suplimentare de limită la suporturi trebuie încorporate în soluția suprapusă, astfel încât deformarea întregului fascicul să fie compatibilă.din diagrama corpului liber al întregului fascicul avem cele două ecuații de echilibru

∑ F = 0, ∑ M a = 0 . {\displaystyle \ sum F = 0~,~~ \ sum M_{a} = 0\,.}

Însumarea forțelor, avem

− 10 − ( 1 ) ( 15 ) + R a + R b + R c = 0 {\displaystyle -10-(1)(15)+R_{a}+R_{b}+R_{c}=0}

și însumarea momentele în jurul capătul liber (A) avem

( R o ) ( 10 ) + ( R b ) ( 25 ) + ( R c ) ( 50 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 17.5 ) − 50 + M c = 0 ., (10)+(R_ {B}) (25)+(R_{C})(50)-(1)(15)(17.5)-50+M_{c}=0\,.}

putem rezolva aceste ecuații pentru Rb și Rc în termeni de Ra și Mc :

R b = 37.5 − 1.6 R o + 0,04 M c {\displaystyle R_{b}=37.5-1.6R_{a}+0.04M_{c}}

și

R c = − 12.5 + 0.6 R o − 0,04 M c . {\displaystyle R_{c}=-12.5+0. 6r_{a}-0.04m_{c}\,.}

dacă însumăm momente despre primul suport din stânga fasciculului, avem

( 10 ) ( 10 ) − ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R b ) ( 15 ) + ( R c ) ( 40 ) − 50 + M c = 0 . {\displaystyle (10)(10)-(1)(15)(7.5)+(R_{b})(15)+(R_{c})(40)-50+M_{c}=0\,.,}

dacă conectăm expresiile pentru Rb și Rc, obținem identitatea trivială 0 = 0, ceea ce indică faptul că această ecuație nu este independentă de cele două anterioare. În mod similar, dacă luăm momente în jurul celui de − al doilea suport, avem

( 10 ) ( 25) – (R a ) ( 15 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 7.5 ) + ( R c) − 25) – 50 + M c = 0 . {\modul de afișare (10)(25)-(R_{a})(15)+(1)(15)(7.5)+(R_{C}) (25)-50+M_{c}=0\,.}

încă o dată constatăm că această ecuație nu este independentă de primele două ecuații., De asemenea, am putea încerca să calculăm momentele din jurul capătului fixat al fasciculului pentru a obține

( 10 ) ( 50 ) − ( R A ) ( 40 ) − ( R b ) ( 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( 32.5 ) − 50 + M c = 0 . {\modul de afișare (10)(50)-(R_{a})(40)-(R_{B})(25)+(1)(15)(32.5)-50+M_{c}=0\,.}

această ecuație se dovedește, de asemenea, să nu fie independentă liniar de celelalte două ecuații. Prin urmare, fasciculul este static nedeterminat și va trebui să găsim momentele de îndoire în segmente ale fasciculului ca funcții ale Ra și Mc.,

Pasul 2: spargeți fasciculul în segmentedit

după ce se găsesc forțele de reacție, rupeți fasciculul în bucăți. Locația și numărul de forțe externe asupra elementului determină numărul și locația acestor piese. Prima piesă începe întotdeauna de la un capăt și se termină oriunde înainte de prima forță externă.,

Pas 3: Calcula forțele de forfecare și momentele – prima pieceEdit

V1 și M1 fi forței tăietoare și moment încovoietor, respectiv, într-o secțiune transversală a primului fascicul de segment. Pe măsură ce secțiunea fasciculului se deplasează spre punctul de aplicare a forței externe, mărimile forței și momentului de forfecare se pot schimba. Acest lucru face ca forța de forfecare și momentul de încovoiere să funcționeze în funcție de poziția secțiunii transversale (în acest exemplu x).,prin însumarea forțelor de-a lungul acestui segment și însumarea momentelor, se obțin ecuațiile pentru forța de forfecare și momentul de îndoire. Aceste ecuații sunt:

∑ F = -10-V 1 = 0 {\displaystyle \sum F= − 10-v_{1}=0}

și

∑ M A = – V 1 x + m 1 = 0 . {\displaystyle \ sum M_{a}= – v_{1}x + m_{1} = 0\,.}

prin urmare,

V 1 = − 10 și M 1 = − 10 x . {\displaystyle v_{1}=-10\quad {\text{și}}\quad m_{1}=-10x\,.,}

Pas 4: se Calculează forțele de forfecare și momentele – al doilea pieceEdit

a Lua cel de-al doilea segment, care se încheie oriunde înainte de cea de-a doua forță internă, avem

∑ F = − 10 + R un − ( 1 ) ( x − 10 ) − V 2 = 0 {\displaystyle \suma F=-10+R_{o}-(1)(x-10)-V_{2}=0}

și

∑ M O = R o ( 10 ) − ( 1 ) ( x − 10 ) ( x + 10 ) 2 − V 2 x + M 2 = 0 . {\displaystyle \suma M_{O}=R_{o}(10)-(1)(x-10){\frac {(x+10)}{2}}-V_{2}x+M_{2}=0\,.,}

prin urmare,

V 2 = R a-x și M 2 = – 50 + R a (x − 10 ) − x 2 2 . {\displaystyle V_{2}=R_{o}-x\quad {\text{și}}\quad M_{2}=-50+R_{o}(x-10)-{\frac {x^{2}}{2}}\,.}

observați că, deoarece forța de forfecare este în termeni de x, ecuația momentului este pătrată. Acest lucru se datorează faptului că momentul este integrala forței de forfecare. Partea dificilă a acestui moment este forța distribuită. Deoarece forța se schimbă odată cu lungimea segmentului, forța va fi înmulțită cu distanța după 10 ft. adică., (x-10) locația momentului este definită în mijlocul forței distribuite, care se schimbă și ea. Acest lucru este în cazul în care (x+10)/2 este derivat din.

alternativ, putem lua momente despre secțiunea transversală pentru a obține

∑ M A = 10 x-R a ( x − 10) + (1) (x − 10) (x − 10 ) 2 + m 2 = 0 . {\displaystyle \suma M_{O}=10x-R_{o}(x-10)+(1)(x-10){\frac {(x-10)}{2}}+M_{2}=0\,.}

Din nou, în acest caz,

M 2 = − 50 + R a ( x − 10 ) − x 2 2 . {\displaystyle M_{2}=-50+R_{o}(x-10)-{\frac {x^{2}}{2}}\,.,}

Pasul 5: se Calculează forțele de forfecare și momentele – a treia pieceEdit

a Lua cel de-al treilea segment, și însumarea forțelor, avem

− 10 + R a + R b ( 1 ) ( 15 ) − V 3 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{3}=0}

și însumarea clipe despre secțiunea transversală, vom obține

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x 17.5 ) + M 3 = 0 . {\displaystyle (10)(x)-R_{o}(x-10)-R_{b}(x-25)+(1)(15)(x 17.5)+M_{3}=0\,.,}

prin Urmare,

V 3 = 25 − R-o − R b = R c {\displaystyle V_{3}=25-R_{o}-R_{b}=R_{c}}

și

M 3 = 262.5 + R a ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = − 675 + R a ( 30 − 0,6 x ) − M c ( 1 − 0,04 x ) + 12.5 x . {\displaystyle M_{3}=262.5+R_{o}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-675+R_{o}(30-0.6 x)-M_{c}(1-0.04 x)+12.5 x\,.}

observați că forța distribuită poate fi considerată acum o forță de 15 kips care acționează în mijlocul locului în care este poziționată.,

Pasul 6: se Calculează forțele de forfecare și momentele – a patra pieceEdit

Având al patrulea și ultimul segment, un echilibru de forțe oferă

− 10 + R a + R b ( 1 ) ( 15 ) − V 4 = 0 {\displaystyle -10+R_{a}+R_{b}-(1)(15)-V_{4}=0}

și un echilibru de momente în jurul secțiune transversală duce la

( 10 ) ( x ) − R ( x − 10 ) − R b ( x− 25 ) + ( 1 ) ( 15 ) ( x 17.5 ) − 50 + M 4 = 0 . {\modul de afișare (10)(x) – R_{a} (x-10)-R_{b} (x-25)+(1)(15)(x-17.,5) -50+m_{4}=0\,.}

Rezolvarea pentru V4 și M4, avem

V 4 = 25 − R-o − R b = R c {\displaystyle V_{4}=25-R_{o}-R_{b}=R_{c}}

și

M 4 = 312.5 + R a ( x − 10 ) + R b ( x − 25 ) − 25 x = − 625 + R a ( 30 − 0,6 x ) + M c ( 0,04 x − 1 ) + 12.5 x . {\displaystyle M_{4}=312.5+R_{o}(x-10)+R_{b}(x-25)-25x=-625+R_{o}(30-0.6 x)+M_{c}(0,04 x-1)+12.5 x\,.}

prin trasarea fiecăreia dintre aceste ecuații la intervalele prevăzute, obțineți momentul încovoietor și diagramele forței de forfecare pentru acest fascicul. În special, la capătul fixat al fasciculului, x = 50 și avem

M 4 = m c = − 937,5 + 40 R a + 25 R b ., {\displaystyle M_{4}=M_{c}=-937.5+40R_{a}+25R_{b}\,.}

Pasul 7: calculați deformările celor patru segmentedit

acum folosim teoria fasciculului Euler-Bernoulli pentru a calcula deformările celor patru segmente. Ecuația diferențială care leagă deformarea fasciculului (w) de momentul încovoietor (M) este

d 2 w D x 2 = − m E i {\displaystyle {\frac {d^{2}w} {dx^{2}}}=-{\frac {m}{EI}}}

Unde E este modulul Young și I este zona momentul de inerție al secțiunii transversale a fasciculului., 2 = 1 24 E am x 2 + C 3 + C 4 x w 3 = 1 100 E I + C 5 + C 6 x w 4 = 1 100 E I + C 7 + C 8 x {\displaystyle {\begin{aliniat}w_{1}&={\frac {5}{3EI}}\,x^{3}+C_{1}+C_{2}\,x\\w_{2}&={\frac {1}{24EI}}\,x^{2}\,\stanga+C_{3}+C_{4}\x\\w_{3}&={\frac {1}{100EI}}\stanga+C_{5}+C_{6}\,x\\w_{4}&={\frac {1}{100EI}}\stanga+C_{7}+C_{8}\x\end{aliniat}}}

Pasul 8: se Aplică limita colonizaremodificare

Acum vom aplica deplasare condițiile la limită pentru patru segmente pentru a determina constantele de integrare.,pentru cel de-al patrulea segment al fasciculului, considerăm condițiile limită la capătul fixat unde w4 = dw/dx = 0 la x = 50. Rezolvarea pentru C7 și C8 dă

C 7 = – 1250 3 e I ( − 625 + M c + 30 R a ) și C 8 = 125 E I (- 125 + 6 R a ) . {\displaystyle C_{7}=-{\frac {1250}{3EI}}(-625+M_{c}+30R_{o})\quad {\text{și}}\quad C_{8}={\frac {125}{EI}}(-125+6R_{o})\,.}

prin urmare, putem exprima w4 ca

w 4 = − 1 300 E I ( x − 50 ) 2 . {\displaystyle w_{4}=-{\frac {1}{300EI}}(x-50)^{2}\left\,.}

acum, w4 = w3 la x = 37, 5 (punctul de aplicare al cuplului extern)., De asemenea, pantele curbelor de deformare în acest moment sunt aceleași, adică dw4/dx = dw3/dx. Folosind aceste condiții de limită și rezolvând pentru C5 și C6, obținem

C 5 = − 625 12 e I ( − 5675 + 8 M c + 240 R a ) și C 6 = 250 e I ( 3 R A − 70 ) . {\displaystyle C_{5}=-{\frac {625}{12EI}}(-5675+8M_{c}+240R_{o})\quad {\text{și}}\quad C_{6}={\frac {250}{EI}}\left(3R_{o}-70\right)\,.}

înlocuirea acestor constante în expresia pentru w3 ne dă

w 3 = 1 300 e I . {\displaystyle {\begin{aliniat}w_{3}={\frac {1}{300EI}}{\Bigl }\,.,\ end{aligned}}}

în mod similar, la suportul dintre segmentele 2 și 3 Unde x = 25, w3 = w2 și dw3/dx = dw2/dx. Utilizarea acestora și rezolvarea pentru C3 și C4 dă

C 3 = − 3125 24 E I ( − 1645 + 4 M c + 64 R a ) și C 4 = 25 12 e I ( − 40325 + 6 M c + 120 R a ) . {\displaystyle C_{3}=-{\frac {3125}{24EI}}(-1645+4M_{c}+64R_{o})\quad {\text{și}}\quad C_{4}={\frac {25}{12EI}}\left(-40325+6M_{c}+120R_{o}\right)\,.}

prin urmare,

w 2 = 1 24 e I . {\displaystyle {\begin{aliniat}w_{2}={\frac {1}{24EI}}{\Bigl }\,.,\ end{aligned}}}

la suportul dintre segmentele 1 și 2, x = 10 și w1 = w2 și dw1/dx = dw2/DX. Aceste condiții limită ne dau

C 1 = – 125 24 E I (−40145 + 100 M c + 1632 R a ) și C 2 = 25 4 e I (−1315 + 2 M c + 48 R a ) . {\displaystyle C_{1}=-{\frac {125}{24EI}}(-40145+100M_{c}+1632R_{o})\quad {\text{și}}\quad C_{2}={\frac {25}{4EI}}(-1315+2M_{c}+48R_{o})\,.}

prin urmare,

w 1 = 5 24 e I. {\displaystyle w_{1}={\frac {5}{24EI}}\left\,.}

Pasul 9: rezolva pentru Mc și RaEdit

deoarece w2 = 0 la x = 25, putem rezolva pentru Mc în termeni de Ra pentru a obține

M c = 175 − 7.,5 R a. {\displaystyle M_{c}=175-7.5R_{a}\,.}

de Asemenea, deoarece w1 = 0 la x = 10, exprimându-și deformarea în termeni de Ra (după eliminarea Mc) și rezolvarea pentru Ra, dă

R = 25.278 ⟹ M c = − 14.585 . {\displaystyle R_{o}=25.278\quad \implică \quad M_{c}=-14.585\,.,}

Pasul 10: Complot moment încovoietor și forța tăietoare diagramsEdit

putem acum calcula reacții Rb și Rc, îndoire momente M1, M2, M3, M4, iar forțele de forfecare V1, V2, V3, V4. Aceste expresii pot fi apoi reprezentate grafic în funcție de lungime pentru fiecare segment.,

Relația dintre forța de forfecare și îndoire momentEdit

este important să se rețină relația dintre cele două diagrame. Diagrama momentului este o reprezentare vizuală a zonei sub diagrama forței de forfecare. Adică momentul este integrala forței de forfecare. Dacă forța de forfecare este constantă pe un interval, ecuația momentului va fi în termeni de x (liniar). Dacă forța de forfecare este liniară pe un interval, ecuația momentului va fi pătratică (parabolică).o altă notă privind diagramele forței de forfecare este că acestea arată unde se aplică forța și momentele externe., Fără forțe externe, funcțiile pe bucăți ar trebui să se atașeze și să nu prezinte discontinuitate. Discontinuitățile de pe grafice sunt magnitudinea exactă fie a forței externe, fie a momentelor externe care sunt aplicate. De exemplu, la x = 10 pe diagrama forței de forfecare, există un decalaj între cele două ecuații. Acest decalaj merge de la -10 la 15.3. Lungimea acestui decalaj este de 25,3, magnitudinea exactă a forței externe în acel moment. La Secțiunea 3 din diagrama momentului, există o discontinuitate de 50. Aceasta este din momentul aplicat de 50 pe structură., Valorile maxime și minime de pe grafice reprezintă forțele și momentele maxime pe care acest fascicul le va avea în aceste condiții.