una dintre cele mai frecvente întrebări pe care cititorii acestei arhive le pun este: cine a descoperit zero? De ce atunci nu am scris un articol despre zero ca fiind unul dintre primii din arhivă? Motivul este, în principiu, din cauza dificultății de a răspunde la întrebare într-o formă satisfăcătoare. Dacă cineva ar fi venit cu conceptul de zero pe care toată lumea l-a văzut apoi ca o inovație strălucitoare pentru a intra în matematică din acel moment, întrebarea ar avea un răspuns satisfăcător chiar dacă nu am ști ce geniu a inventat-o., Înregistrarea istorică arată însă o cale destul de diferită față de concept. Zero face apariții obscure doar pentru a dispărea din nou aproape ca și cum matematicienii l-ar căuta, dar nu i-au recunoscut semnificația fundamentală chiar și atunci când l-au văzut.
primul lucru de spus despre zero este că există două utilizări ale zero, care sunt ambele extrem de importante, dar sunt oarecum diferite. O utilizare este ca un indicator loc gol în sistemul nostru număr loc-valoare. Prin urmare, într-un număr ca 2106, zero este utilizat astfel încât pozițiile 2 și 1 să fie corecte., În mod clar 216 înseamnă ceva cu totul diferit. A doua utilizare a zero este ca număr în sine în forma pe care o folosim ca 0. Există, de asemenea, diferite aspecte ale zero în cadrul acestor două utilizări, și anume conceptul, notația și numele. (Numele nostru „zero” derivă în cele din urmă din sifr-ul arab care ne dă și cuvântul „cifru”.)
niciuna dintre utilizările de mai sus nu are un istoric ușor de descris. Pur și simplu nu sa întâmplat ca cineva să inventeze ideile și apoi toată lumea a început să le folosească. De asemenea, este corect să spunem că numărul zero este departe de un concept intuitiv., Problemele matematice au început ca probleme „reale”, mai degrabă decât probleme abstracte. Numerele din timpurile istorice timpurii au fost gândite mult mai concret decât conceptele abstracte care sunt numerele noastre de astăzi. Există salturi mentale uriașe de la 5 cai la 5 ” lucruri „și apoi la ideea abstractă a”cinci”. Dacă popoarele antice au rezolvat o problemă despre câți cai avea nevoie de un fermier, atunci problema nu avea 0 sau -23 ca răspuns.,
S-ar putea crede că odată ce un sistem de numere de valoare a locului a apărut atunci 0 ca indicator de loc gol este o idee necesară, totuși babilonienii au avut un sistem de numere de valoare a locului fără această caracteristică de peste 1000 de ani. În plus, nu există absolut nicio dovadă că babilonienii au simțit că există vreo problemă cu ambiguitatea care exista. În mod remarcabil, textele originale supraviețuiesc din epoca matematicii babiloniene. Babilonienii au scris pe tăblițe de lut neacoperit, folosind scrierea cuneiformă., Simbolurile au fost presate în tablete moi de lut cu marginea înclinată a unui stylus și astfel au avut un aspect în formă de pană (și, prin urmare, numele cuneiform). Multe tablete din jurul anului 1700 î. HR. supraviețuiesc și putem citi textele originale. Desigur, notația lor pentru numere a fost destul de diferită de a noastră (și nu bazată pe 10, ci pe 60), dar pentru a traduce în notația noastră nu ar face distincție între 2106 și 216 (contextul ar trebui să arate care a fost intenționat)., Abia în jurul anului 400 î.HR. babilonienii au pus două simboluri de pană în locul în care am pune zero pentru a indica care a fost însemnat, 216 sau 21 ” 6.
cele două pene nu au fost singura notație folosită, totuși, și pe o tabletă găsită la Kish, un oraș antic Mesopotamian situat la est de Babilon, în ceea ce este astăzi Sud-Central Irak, se folosește o notație diferită. Această tabletă, gândită până în prezent din jurul anului 700 î. HR., folosește trei cârlige pentru a desemna un loc gol în notația pozițională. Alte tablete datate din aproximativ același timp, utilizați un singur cârlig pentru un loc gol., Există o caracteristică comună pentru această utilizare a diferitelor mărci pentru a desemna o poziție goală. Acesta este faptul că nu a avut loc niciodată la sfârșitul cifrelor, ci întotdeauna între două cifre. Deci, deși găsim 21 „6 nu găsim niciodată 216”. Trebuie să presupunem că sentimentul mai vechi că contextul a fost suficient pentru a indica care a fost destinat încă aplicat în aceste cazuri.
dacă această referire la context pare o prostie, atunci este demn de remarcat faptul că încă mai folosim contextul pentru a interpreta numerele de astăzi., Dacă iau un autobuz într-un oraș din apropiere și întreb care este tariful, atunci știu că răspunsul „este trei cincizeci” înseamnă trei lire cincizeci de pence. Cu toate acestea, dacă același răspuns este dat la întrebarea cu privire la costul unui zbor de la Edinburgh la New York, atunci știu că trei sute cincizeci de lire sterline este ceea ce este destinat.
putem vedea de aici că utilizarea timpurie a zero pentru a desemna un loc gol nu este cu adevărat utilizarea zero ca număr, ci doar utilizarea unui anumit tip de punctuație, astfel încât numerele să aibă interpretarea corectă.,
acum grecii antici și-au început contribuțiile la matematică în jurul perioadei în care zero ca indicator de loc gol intra în uz în matematica babiloniană. Cu toate acestea, grecii nu au adoptat un sistem de numere poziționale. Merită să ne gândim cât de semnificativ este acest fapt. Cum ar putea strălucitele progrese matematice ale grecilor să nu-i vadă adoptând un sistem numeric cu toate avantajele pe care le poseda sistemul babilonian de valori de loc?, Răspunsul real la această întrebare este mai subtil decât răspunsul simplu pe care urmează să-l dăm, dar practic realizările matematice grecești s-au bazat pe geometrie. Deși elementele lui Euclid conțin o carte despre teoria numerelor, ea se bazează pe geometrie. Cu alte cuvinte, matematicienii greci nu aveau nevoie să-și numească numerele, deoarece lucrau cu numere ca lungimi de linii. Numerele care trebuiau să fie numite pentru înregistrări erau folosite de comercianți, nu de matematicieni și, prin urmare, nu era nevoie de o notație inteligentă.
acum au existat excepții de la ceea ce tocmai am declarat., Excepțiile au fost matematicienii care au fost implicați în înregistrarea datelor astronomice. Aici găsim prima utilizare a simbolului pe care îl recunoaștem astăzi ca notație pentru zero, pentru că astronomii greci au început să folosească simbolul O. există multe teorii de ce a fost folosită această notație particulară. Unii istorici favorizează explicația că este omicron, prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic și anume „ouden”. Cu toate acestea, Neugebauer respinge această explicație, deoarece grecii au folosit deja omicron ca număr – a reprezentat 70 (sistemul numeric grecesc se baza pe alfabetul lor)., Alte explicații oferite includ faptul că reprezintă „obol”, o monedă de aproape nicio valoare și că apare atunci când contoarele au fost folosite pentru numărarea pe o placă de nisip. Sugestia este că, atunci când o contra a fost eliminat pentru a lăsa o coloană goală a lăsat-o depresie în nisip, care arata ca O.
Ptolemeu în Almagest scris în jur de 130 de AD folosește Babilonian sistemul sexagesimal împreună cu gunoiul loc de titular O., În acest timp, Ptolemeu folosește simbolul atât între cifre, cât și la sfârșitul unui număr și s-ar putea fi tentat să creadă că cel puțin zero ca titular de loc gol a ajuns ferm. Totuși, acest lucru este departe de ceea ce s-a întâmplat. Doar câțiva astronomi excepționali au folosit notația și ar cădea din uz de mai multe ori înainte de a se stabili în cele din urmă. Ideea locului zero (cu siguranță nu a fost gândită ca un număr de Ptolemeu care încă îl considera un fel de punctuație) își face următoarea apariție în matematica indiană.,
scena se mută acum în India, unde este corect să spunem că s-au născut numerele și sistemul de numere care au evoluat în cele extrem de sofisticate pe care le folosim astăzi. Desigur, asta nu înseamnă că sistemul Indian nu datora ceva sistemelor anterioare și mulți istorici ai matematicii cred că utilizarea indiană a zero a evoluat din utilizarea sa de către astronomii greci. Precum și unii istorici care par să vrea să joace în jos contribuția indienilor într-un mod mai nerezonabil, există, de asemenea, cei care fac pretenții cu privire la invenția Indian de zero, care par să meargă mult prea departe., De exemplu, Mukherjee în revendicări: –

… concepția matematică a zero … a fost, de asemenea, prezent în forma spirituală de la 17 000 de ani înapoi în India.

ceea ce este sigur este că prin aproximativ 650AD utilizarea zero ca număr a intrat în matematica indiană. Indienii au folosit, de asemenea, un sistem de valori loc și zero a fost folosit pentru a desemna un loc gol. De fapt, există dovezi ale unui titular loc gol în numere poziționale de la cât mai devreme 200AD în India, dar unii istorici resping acestea ca falsuri mai târziu., Să examinăm mai întâi această ultimă utilizare, deoarece continuă dezvoltarea descrisă mai sus.
în jurul valorii de 500ad Aryabhata conceput un sistem de numere care nu are nici un zero, încă a fost un Sistem pozițional. El a folosit cuvântul ” kha ” pentru poziție și va fi folosit mai târziu ca nume pentru zero. Există dovezi că un punct a fost folosit în manuscrisele indiene anterioare pentru a desemna un loc gol în notația pozițională. Este interesant faptul că aceleași documente au folosit uneori și un punct pentru a denota un necunoscut unde am putea folosi xxx., Mai târziu, matematicienii indieni aveau nume pentru zero în numere poziționale, dar nu aveau niciun simbol pentru asta. Prima înregistrare a utilizării indiene a lui zero, care este datată și convenită de toți să fie autentică, a fost scrisă în 876.
avem o inscripție pe o tăbliță de piatră care conține o dată care se traduce prin 876. Inscripția se referă la orașul Gwalior, la 400 km sud de Delhi, unde au plantat o grădină 187 de 270 hastas care ar produce destule flori pentru a permite 50 de ghirlande pe zi pentru a fi dat la templu local., Ambele numere 270 și 50 sunt notate aproape așa cum apar astăzi, deși 0 este mai mic și ușor ridicat.
acum ajungem să considerăm prima apariție a zero ca număr. Să observăm mai întâi că nu este în niciun sens un candidat natural pentru un număr. Din timpuri timpurii numerele sunt cuvinte care se referă la colecții de obiecte. Cu siguranță ideea de număr a devenit din ce în ce mai abstractă, iar această abstractizare face posibilă luarea în considerare a numerelor zero și negative care nu apar ca proprietăți ale colecțiilor de obiecte., Desigur, problema care apare atunci când cineva încearcă să ia în considerare zero și negative ca numere este modul în care acestea interacționează în ceea ce privește operațiunile de aritmetică, adunare, scădere, înmulțire și împărțire. În trei cărți importante, matematicienii indieni Brahmagupta, Mahavira și Bhaskara au încercat să răspundă la aceste întrebări.

Brahmagupta a încercat să dea regulile pentru aritmetică care implică numere zero și negative în secolul al șaptelea. El a explicat că, având în vedere un număr, atunci dacă îl scade de la sine, obțineți zero., El a dat următoarele reguli de adăugare care implică zero: –

suma zero și un număr negativ este negativ, suma unui număr pozitiv și zero este pozitiv, suma zero și zero este zero.

Scădere este un pic mai greu:-

Un număr negativ scade la zero este pozitiv, un număr pozitiv scade la zero este negativ, zero, scade de la un număr negativ este negativ, zero, scade de la un număr pozitiv este pozitiv, zero scade la zero este zero.,

Brahmagupta apoi spune că orice număr înmulțit cu zero este zero, dar se luptă atunci când vine vorba de divizare:-

Un număr pozitiv sau negativ atunci când împărțit la zero este o fracție cu zero ca numitor. Zero împărțit la un număr negativ sau pozitiv este fie zero, fie este exprimat ca o fracție cu zero ca numărător și cantitatea finită ca numitor. Zero împărțit la zero este zero.

într-adevăr Brahmagupta spune foarte puțin atunci când sugerează că NNN împărțit la zero este n/0n/0n / 0. E clar că se luptă aici., Cu siguranță greșește atunci când susține că zero împărțit la zero este zero. Cu toate acestea, este o încercare strălucită din partea primei persoane pe care o știm care a încercat să extindă aritmetica la numere negative și zero.
În 830, aproximativ 200 de ani după Brahmagupta a scris capodopera sa, Mahavira a scris Ganita Sara Samgraha care a fost conceput ca o actualizare a lui Brahmagupta carte. El afirmă corect că: –

… un număr înmulțit cu zero este zero, iar un număr rămâne același atunci când zero este scăzut din acesta.,

cu toate acestea, încercările sale de a îmbunătăți declarațiile lui Brahmagupta privind împărțirea la zero par să-l conducă în eroare. El scrie: –

un număr rămâne neschimbat atunci când este împărțit la zero.

deoarece acest lucru este în mod clar incorect utilizarea mea a cuvintelor „par să-l conducă în eroare” ar putea fi văzută ca confuz. Motivul acestei fraze este că unii comentatori despre Mahavira au încercat să găsească scuze pentru declarația sa incorectă.
Bhaskara a scris peste 500 de ani după Brahmagupta., În ciuda trecerii timpului, el încă se luptă să explice diviziunea cu zero. El scrie: –

o cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero. Această fracțiune este numită o cantitate infinită. În această cantitate constând din ceea ce are zero pentru divizorul său, nu există nicio modificare, deși multe pot fi inserate sau extrase; deoarece nicio schimbare nu are loc în Dumnezeul infinit și imuabil atunci când lumile sunt create sau distruse, deși numeroase ordine de ființe sunt absorbite sau scoase.,

Deci, Bhaskara a încercat să rezolve problema de scris n0=∞\mare\frac{n}{0}\normalsize = ∞0n=∞. La prima vedere am putea fi tentați să credem că Bhaskara are dreptate, dar, desigur, nu. Dacă acest lucru ar fi adevărat, atunci 0 × ∞ trebuie să fie egal cu fiecare număr nnn, deci toate numerele sunt egale. Matematicienii indieni nu s-au putut aduce la punctul de a admite că nu se poate împărți la zero. Bhaskara a declarat corect alte proprietăți ale zero, cu toate acestea, cum ar fi 02=00^{2} = 002=0, și √0=0√0 = 0√0=0.,
poate că ar trebui să observăm în acest moment că a existat o altă civilizație care a dezvoltat un sistem de numere de valoare a locului cu un zero. Acesta a fost poporul Maya care a trăit în America Centrală, ocupând zona care astăzi este sudul Mexicului, Guatemala și Belize de Nord. Aceasta a fost o civilizație veche, dar a înflorit în special între 250 și 900. Știm că prin 665 au folosit un sistem de numere de valoare pentru a baza 20 cu un simbol pentru zero. Cu toate acestea, utilizarea lor de zero merge înapoi mai departe decât aceasta și a fost în uz înainte de a introduce sistemul de numere loc-evaluate., Aceasta este o realizare remarcabilă, dar, din păcate, nu a influențat alte popoare.
puteți vedea un articol separat despre matematica Maya.
lucrarea strălucitoare a matematicienilor indieni a fost transmisă matematicienilor islamici și arabi mai departe spre vest. A venit într-un stadiu incipient al-Khwarizmi scris Al’Khwarizmi pe Hindus Arta de a Judecății care descrie Indian loc-valoarea sistemul de cifre bazate pe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, și 0. Această lucrare a fost prima din ceea ce este acum Irak care a folosit zero ca titular de loc în notația de bază pozițională., Ibn Ezra, în secolul al XII-lea, a scris trei tratate despre numere care au ajutat la aducerea simbolurilor indiene și a ideilor fracțiilor zecimale în atenția unora dintre oamenii învățați din Europa. Cartea numărului descrie sistemul zecimal pentru numere întregi cu valori de loc de la stânga la dreapta. În această lucrare ibn Ezra folosește zero pe care îl numește galgal (adică roată sau cerc). Puțin mai târziu, în secolul al 12-lea al-Samawal a fost scris:-

Dacă vom scădea un număr pozitiv de la zero același număr negativ rămâne. …, dacă scădem un număr negativ de la zero, rămâne același număr pozitiv.

ideile indiene s-au răspândit spre est în China, precum și spre vest în țările islamice. În 1247 matematicianul chinez Qin Jiushao a scris tratat matematic în nouă secțiuni care utilizează simbolul o pentru zero. Puțin mai târziu, în 1303, Zhu Shijie a scris oglinda Jade a celor patru elemente care utilizează din nou simbolul o pentru zero.
Fibonacci a fost unul dintre principalii oameni care a adus aceste idei noi despre sistemul de numere în Europa., După cum scriu autorii: –

o legătură importantă între sistemul numeric hindus-arab și matematica Europeană este matematicianul Italian Fibonacci.

în Liber Abaci Ⓣ el a descris cele nouă simboluri indiene împreună cu semnul 0 pentru europeni în jurul anului 1200, dar nu a fost utilizat pe scară largă pentru o lungă perioadă de timp după aceea. Este semnificativ faptul că Fibonacci nu este suficient de îndrăzneț pentru a trata 0 în același mod ca și celelalte numere 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 din moment ce vorbește despre „semnul” zero, în timp ce celelalte simboluri despre care vorbește ca numere., Deși în mod clar aducerea Indian cifre pentru Europa a fost de o importanță majoră, putem vedea că, în tratamentul său de zero, el nu ajunge la gradul de sofisticare al Indienilor Brahmagupta, Mahavira și Bhaskara nici de arabă și Islamică matematicieni, cum ar fi al-Samawal.
S-ar fi putut crede că progresul sistemelor numerice în general, și zero în special, ar fi fost constant din acest moment. Cu toate acestea, acest lucru a fost departe de a fi cazul. Cardanul a rezolvat ecuațiile cubice și quartice fără a utiliza zero., El și-ar fi găsit munca în anii 1500 mult mai ușor dacă ar fi avut un zero, dar nu făcea parte din matematica sa. Prin 1600 zero a început să vină în uz pe scară largă, dar încă numai după ce se confruntă cu o mulțime de rezistență.
desigur, există încă semne ale problemelor cauzate de zero. Recent, mulți oameni din întreaga lume au sărbătorit noul mileniu la 1 ianuarie 2000. Desigur, au sărbătorit trecerea de numai 1999 ani de când calendarul a fost înființat nici un an zero a fost specificat., Deși s-ar putea ierta eroarea inițială, este puțin surprinzător faptul că majoritatea oamenilor păreau incapabili să înțeleagă de ce mileniul al treilea și secolul 21 încep la 1 ianuarie 2001. Zero este încă cauzează probleme!