principiul muncii și al energiei cinetice (cunoscut și ca principiul muncii–energiei) afirmă că munca făcută de toate forțele care acționează asupra unei particule (munca forței rezultate) este egală cu schimbarea energiei cinetice a particulei., Care este, munca W face prin forță rezultantă asupra unei particule este egal cu schimbarea particulelor cu energie cinetică E k {\displaystyle E_{k}} ,

W = Δ E k = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 {\displaystyle W=\Delta E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}} ,

derivare de la locul de muncă–principiul de energie incepe cu doua lege a lui Newton de mișcare și forță rezultantă asupra unei particule. Calculul produsului scalar al forțelor cu viteza particulei evaluează puterea instantanee adăugată sistemului.,constrângerile definesc direcția de mișcare a particulei asigurându-se că nu există o componentă a vitezei în direcția forței de constrângere. Acest lucru înseamnă, de asemenea, forțele de constrângere nu se adaugă la puterea instantanee. Integrala de timp a acestei ecuații scalare produce munca din puterea instantanee și energia cinetică din produsul scalar al vitezei și accelerației. Faptul că principiul muncii–energie elimină forțele de constrângere stă la baza mecanicii Lagrangiene.această secțiune se concentrează pe principiul muncii-energie, așa cum se aplică dinamicii particulelor., În sistemele mai generale de lucru se poate schimba energia potențială a unui dispozitiv mecanic, energia termică într-un sistem termic, sau energia electrică într-un dispozitiv electric. Munca transferă energia dintr-un loc în altul sau dintr-o formă în alta.

Derivare pentru o particulă se deplasează de-a lungul unei drepte lineEdit

În caz de forță rezultantă F este constantă atât în mărime și direcție, și paralel cu viteza particulei, particula se deplasează cu o accelerație constantă de-a lungul unei linii drepte., Relația dintre forța și accelerația este dat de ecuația F = ma (doua lege a lui Newton), și particule de deplasare s poate fi exprimată prin ecuația

s = v 2 2 − v 1 2 2 o {\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}

care rezultă din v 2 2 = v 1 2 + 2 o s {\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as} (vezi Ecuațiile de mișcare).

lucrarea forței nete este calculată ca produs al mărimii sale și al deplasării particulelor., = m o s = m ( v 2 2 − v 1 2 2 s ) s = 1 2 m v 2 2 − 1 2 m v 1 2 = Δ E k {\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}

În cazul general de mișcare rectilinie, atunci când forța F nu este constantă în mărime, dar este constantă în direcție, și paralel cu viteza particulei, lucrările trebuie să fie integrate de-a lungul calea de particule:

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ v d t = ∫ t 1 t 2 F v d t = ∫ t 1 t 2 m o v d t = m ∫ t 1 t 2 t v d v d t d t = m ∫ v 1 v 2 v d v = 1 2 m ( v 2 2 − v 1 2 ) ., {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}d\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \peste dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}

General derivare de munca–teorema energie pentru o particleEdit

Pentru orice net forță care acționează asupra unei particule în mișcare de-a lungul orice curbilinii cale, poate fi demonstrat că activitatea sa este egal cu variația energiei cinetice a particulelor printr-o simplă derivare analogă cu ecuația de mai sus.,\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}} d v 2 d t = d ( v ⋅ v ) d t = d v d t ⋅ v + v ⋅ d v d t = 2 d v d t ⋅ v = 2 a ⋅ v {\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} } .,

partea rămasă a derivării de mai sus este doar calcul simplu, la fel ca în cazul rectiliniu precedent.

derivarea pentru o particulă în mișcare constrânsăedit

în dinamica particulelor, o formulă care echivalează munca aplicată unui sistem la schimbarea sa în energia cinetică este obținută ca o primă integrală a celei de-a doua legi de mișcare a lui Newton. Este util de observat că forța rezultantă folosită în legile lui Newton poate fi separată în forțe care sunt aplicate particulei și forțe impuse de constrângeri asupra mișcării particulei., În mod remarcabil, munca unei forțe de constrângere este zero, prin urmare, numai munca forțelor aplicate trebuie luată în considerare în principiul muncii–energie.pentru a vedea acest lucru, luați în considerare o particulă P care urmează traiectoria X(t) cu o forță F care acționează asupra ei. Izola de particule din mediul său pentru a expune constrângere forțele R, atunci Legea lui Newton are forma

F + R = m X , {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}

în cazul în care m este masa particulei.

Formula Vectorialăedit

rețineți că n puncte deasupra unui vector indică derivata sa de timp nth.,Scalar produs de fiecare parte a lui Newton, legea cu vectorul viteză randamentele

F ⋅ X = m X ⋅ X , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

deoarece constrângere forțele sunt perpendiculare pe viteza particulelor. Integrați această ecuație de-a lungul traiectoriei sale de la punctul X(t1) la punctul X(t2) pentru a obține

∫ t 1 t 2 F ⋅ X d t = m ∫ t 1 t 2 X ⋅ X d t . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.,}

partea stângă a acestei ecuații este lucrarea forței aplicate, deoarece acționează asupra particulei de-a lungul traiectoriei din timpul t1 în timpul t2. Acest lucru poate fi, de asemenea, scris ca

W = ∫ t 1 t 2 F ⋅ X d t = ∫ X ( t 1 ) X ( t 2 ) F ⋅ D X . {\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}

această integrală este calculată de-a lungul traiectoriei X(t) a particulei și, prin urmare, este dependentă de cale.,

partea dreaptă de prima integral a a lui Newton ecuații pot fi simplificate folosind următoarele identitatea

1 2 d d t ( X ⋅ X ) = X ⋅ X , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}

(a se vedea produsul regula de derivare).,e is defined by the scalar quantity,

K = m 2 X ˙ ⋅ X ˙ = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}

Tangential and normal componentsEdit

It is useful to resolve the velocity and acceleration vectors into tangential and normal components along the trajectory X(t), such that

X ˙ = v T and X ¨ = v ˙ T + v 2 κ N , {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}

where

v = | X ˙ | = X ˙ ⋅ X ˙ ., {\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}

Apoi, produsul scalar al vitezei cu accelerare in doua lege a lui Newton are forma

Δ K = m ∫ t 1 t 2 v v d t = m 2 ∫ t 1 t 2 d d t v 2 d t = m 2 v 2 ( t 2 ) − m 2 v 2 ( t 1 ) , {\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}

în cazul în care energia cinetică a particulelor este definită prin cantitatea scalară,

K = m 2 v 2 = m 2 X ⋅ X ., {\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}

rezultatul este principiul muncii-energie pentru dinamica particulelor,

W = Δ K . afișează stilul W = Delta K.}

această derivare poate fi generalizată la sisteme arbitrare rigide ale corpului.luați în considerare cazul unui vehicul care se deplasează de-a lungul unei traiectorii orizontale drepte sub acțiunea unei forțe motrice și a unei gravitații care însumează F. forțele de constrângere dintre vehicul și drum definesc R și avem

F + R = m X ., {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.} F x v = m v v . integrarea ambelor părți dă rezultate ∫ t 1 t 2 F x v d t = m 2 v 2 − T 2) – m 2 v 2 ( T 1). {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}

dacă Fx este constant de − a lungul traiectoriei, atunci integrala vitezei este distanța, deci

F x ( d ( t 2) − d ( t 1 ) ) = m 2 v 2 ( T 2) – m 2 v 2 ( t 1 ) . {\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).,}

ca exemplu, luați în considerare o mașină care derapează până la oprire, unde k este coeficientul de frecare și W este greutatea mașinii. Apoi, forța de −a lungul traiectoriei este Fx = – kW. Viteza v a mașinii poate fi determinată din lungimea s a derapajului folosind principiul energiei de lucru,

k W S = W 2 g v 2 sau v = 2 k S g . {\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\mbox{sau}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}

Observați că această formulă se folosește de faptul că masa vehiculului este m = W/g.

de a trece pe un drum de munte (greutate de curse)Modificare

se Consideră cazul unui vehicul care pornește de la odihnă și zonele de coastă în jos un drum de munte, lucrarea-energia principiul ajută calcula distanța minimă care vehiculul se deplasează pentru a ajunge la o viteza V, de 60 mph (88 fps). Rezistența la rulare și tracțiunea cu aer vor încetini vehiculul, astfel încât distanța reală va fi mai mare decât dacă aceste forțe sunt neglijate.,fie ca traiectoria vehiculului care urmează drumul să fie X (t), care este o curbă în spațiul tridimensional. Forța care acționează asupra vehiculului care îl împinge pe drum este forța constantă a gravitației F = (0, 0, W), în timp ce forța drumului pe vehicul este forța de constrângere R. randamentele celei de-a doua legi a lui Newton,

F + R = M X . {\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}

produsul scalar al acestei ecuații cu viteza, V = (vx, vy, vz), randamentele

W v z = m V V , {\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}

, unde V este mărimea de V., Forțele de constrângere dintre vehicul și drum se anulează din această ecuație, deoarece R ⋅ V = 0, ceea ce înseamnă că nu funcționează.Integrați ambele părți pentru a obține

∫ t 1 t 2 W v z d t = m 2 V 2 ( T 2 ) − m 2 V 2 (T 1 ) . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}

forța de greutate W este constantă de-a lungul traiectoriei, iar integrala vitezei verticale este distanța verticală, prin urmare,

w Δ z = m 2 V 2 . în cazul în care nu există nici un fel de}

amintiți-vă că V (t1) = 0., Observați că acest rezultat nu depinde de forma drumului urmat de vehicul.pentru a determina distanța de-a lungul drumului, presupunem că downgrade-ul este de 6%, ceea ce este un drum abrupt. Aceasta înseamnă că altitudinea scade cu 6 picioare pentru fiecare 100 de picioare parcurse—pentru unghiuri atât de mici, funcțiile sin și tan sunt aproximativ egale. Prin urmare, Distanța s în picioare în jos un grad de 6% pentru a atinge viteza V este de cel puțin

S = Δ z 0.06 = 8.3 V 2 g , sau s = 8.3 88 2 32.2 ≈ 2000 ft . {\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\mbox{sau}}\quad s=8.,3{\frac {88^{2}}{32.2}}\aproximativ 2000 {\mbox{ft}}.}

această formulă folosește faptul că greutatea vehiculului este W = mg.