The number m is a square number if and only if one can arrange m points in a square:

The expression for the nth square number is n2., Aceasta este, de asemenea, egală cu suma primelor n numere impare, așa cum se poate vedea în imaginile de mai sus, unde un pătrat rezultă din cel precedent prin adăugarea unui număr impar de puncte (afișat în magenta). Formula urmează:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) . {\displaystyle n^{2}= \ sum _ {k = 1}^{n} (2K-1).}

de exemplu, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.,

un număr mai mic decât un pătrat (m − 1) este întotdeauna produsul √M − 1 și √m + 1 (de exemplu, 8 × 6 este egal cu 48, în timp ce 72 este egal cu 49). Astfel, 3 este singurul număr prim mai mic decât un pătrat.un număr pătrat este, de asemenea, suma a două numere triunghiulare consecutive. Suma a două numere pătrate consecutive este un număr pătrat centrat. Fiecare pătrat ciudat este, de asemenea, un număr octogonal centrat.o altă proprietate a unui număr pătrat este că (cu excepția 0) are un număr impar de divizori pozitivi, în timp ce alte numere naturale au un număr par de divizori pozitivi., O rădăcină întreagă este singurul divizor care se împerechează cu el însuși pentru a produce numărul pătrat, în timp ce alți divizori vin în perechi.teorema cu patru pătrate a lui Lagrange afirmă că orice număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a patru sau mai puține pătrate perfecte. Trei pătrate nu sunt suficiente pentru numerele formularului 4k (8m + 7). Un număr întreg pozitiv poate fi reprezentat ca o sumă de două pătrate tocmai dacă factorizarea sa primară nu conține puteri ciudate de numere prime de forma 4k + 3. Acest lucru este generalizat de problema lui Waring.,

În baza 10, un număr pătrat poate ajunge doar cu cifrele 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, după cum urmează:

• dacă ultima cifră a unui număr este 0, pătratul său se termină în 0 (de fapt, ultimele două cifre trebuie să fie 00);
• dacă ultima cifră a unui număr este 1 sau 9, pătratul său se termină în 1;
• dacă ultima cifră a unui număr este de 2 sau 8, pătratul său se termină în 4;
• dacă ultima cifră a unui număr este de 3 sau 7, pătratul său se termină în 9;
• dacă ultima cifră a unui număr este 4 sau 6, pătratul său se termină în 6; și
• dacă ultima cifră a unui număr este de 5, pătratul său se termină în 5 (în fapt, ultimele două cifre trebuie să fie de 25).,

În baza 12, un număr pătrat poate ajunge doar cu pătrat cifre (ca în baza 12, un număr prim se poate termina numai cu prim cifre sau 1), care este, 0, 1, 4 sau 9, după cum urmează:

• dacă un număr este divizibil atât cu 2 și cu 3 (care este divizibil cu 6), pătratul său se termină în 0;
• dacă un număr este divizibil nici cu 2, nici cu 3, pătratul său se termină în 1;
• dacă un număr este divizibil cu 2, dar nu cu 3, pătratul său se termină în 4; și
• dacă un număr este divizibil cu 2, dar cu 3, pătratul său se termină în 9.,

reguli similare pot fi date pentru alte baze sau pentru cifre anterioare (zecile în loc de cifra unităților, de exemplu). Toate aceste reguli pot fi dovedite prin verificarea unui număr fix de cazuri și prin utilizarea aritmeticii modulare.în general, dacă un prim p împarte un număr pătrat m, atunci pătratul lui p trebuie să împartă și m; dacă p nu reușește să împartă m/p, atunci m nu este cu siguranță pătrat. Repetând diviziunile propoziției anterioare, se concluzionează că fiecare prim trebuie să împartă un pătrat perfect dat de un număr par de ori (inclusiv posibil de 0 ori)., Astfel, numărul m este un număr pătrat dacă și numai dacă, în reprezentarea sa canonică, toți exponenții sunt egali.

testarea Squarity poate fi folosit ca mod alternativ în factorizarea unui număr mare. În loc de testare pentru divizibilitatea, test pentru squarity: pentru dat m și un număr k, dacă k2 − m este pătratul unui număr întreg n atunci k − n divide m. (Aceasta este o aplicație de factorizare de o diferență de două pătrate.) De exemplu, 1002 − 9991 este pătratul lui 3, deci în consecință 100 − 3 împarte 9991., Acest test este determinist pentru divizorii impari în intervalul de la k − n la k + N unde k acoperă o anumită gamă de numere naturale k ≥ √m.

un număr pătrat nu poate fi un număr perfect.

suma primelor numere pătrate este

∑ n = 0 N n 2 = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ⋯ + N 2 = N ( N + 1) (2 N + 1 ) 6 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.,}

primul valorile acestor sume, piața piramidal numere, sunt: (secvență A000330 în OEIS)

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201…

suma primelor numere întregi impare, începând cu una, este un pătrat perfect: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc.suma primelor n cuburi este pătratul sumei primelor n numere întregi pozitive; aceasta este teorema lui Nicomachus.,toate puterile a patra, puterile a șasea, puterile a opta și așa mai departe sunt pătrate perfecte.