hay una historia popular que Gauss, matemático extraordinario, tenía un profesor perezoso. El llamado educador quería mantener a los niños ocupados para poder tomar una siesta; pidió a la clase que agregara los números del 1 al 100.

Gauss se acercó con su respuesta: 5050. Tan pronto? El profesor sospechaba de un tramposo, pero no., Adición Manual era para los tontos, y Gauss encontrado una fórmula para eludir el problema:

Vamos a compartir algunas explicaciones de este resultado y realmente entender de forma intuitiva. Para estos ejemplos agregaremos 1 a 10, y luego veremos cómo se aplica para 1 a 100 (o 1 a cualquier número).

técnica 1: emparejar números

emparejar números es un enfoque común para este problema., En lugar de escribir todos los números en una sola columna, vamos a envolver los números alrededor, así:

1 2 3 4 510 9 8 7 6

un patrón interesante emerge: la suma de cada columna es 11. A medida que la fila superior aumenta, la fila inferior disminuye, por lo que la suma permanece igual.

que es la fórmula de arriba.

espera – ¿Qué pasa con un número impar de elementos?

Ah, Me alegro de que hayas sacado el tema. ¿Y si sumamos los números del 1 al 9? No tenemos un número par de elementos para emparejar., Muchas explicaciones solo darán la explicación anterior y la dejarán así. No lo haré.

agreguemos los números 1 a 9, pero en lugar de comenzar desde 1, contemos desde 0:

0 1 2 3 49 8 7 6 5

contando desde 0, obtenemos un «elemento adicional» (10 en total) para que podamos tener un número par de filas. Sin embargo, nuestra fórmula se verá un poco diferente.

que es la misma fórmula como antes. Siempre me molestó que la misma fórmula funcionara tanto para números impares como pares – ¿no obtendrás una fracción?, Sí, obtienes la misma fórmula, pero por diferentes razones.

técnica 2: Use dos filas

el método anterior funciona, pero maneja los números pares e impares de manera diferente. No hay una mejor manera? Sí.

en lugar de bucear los números, vamos a escribirlos en dos filas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1

observe que tenemos 10 pares, y cada par suma 10+1.

el total de todos los números anteriores es

pero solo queremos la suma de una fila, no ambas., Así que dividimos la fórmula anterior por 2 y obtenemos:

ahora esto es genial (tan genial como pueden ser las filas de números). Funciona para un número impar o par de elementos de la misma!

Técnica 3: Hacer un rectángulo

recientemente me topé con otra explicación, un nuevo enfoque a la antigua explicación de emparejamiento. Diferentes explicaciones funcionan mejor para diferentes personas, y tiendo a gustarme más esta.

en lugar de escribir números, finge que tenemos frijoles. Queremos agregar 1 frijol a 2 frijoles a 3 frijoles all hasta 5 frijoles.,

xx xx x xx x x xx x x x x

claro, podríamos ir a 10 o 100 frijoles, pero con 5 entiendes la idea. ¿Cómo contamos el número de frijoles en nuestra pirámide?

bueno, la suma es claramente 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Pero vamos a verlo de una manera diferente. Digamos que reflejamos nuestra pirámide (usaré» o » para los frijoles reflejados), y luego la derribamos:

x o x o o o o ox x o o x x o o o ox x x o o o => x x x o o ox x x x o o o o x x x x o ox x x x x o o o o o x x x x x o

Cool, huh? En caso de que te estés preguntando si» realmente » se alinea, lo hace. Echa un vistazo a la fila inferior de la pirámide regular, con 5’x (y 1 o)., La siguiente fila de la pirámide tiene 1 Menos x (4 en total) y 1 más o (2 en total) para llenar el hueco. Al igual que el emparejamiento, un lado está aumentando y el otro está disminuyendo.

ahora para la explicación: ¿cuántos frijoles tenemos en total? Bueno, eso es sólo el área del rectángulo.

tenemos n filas (no cambiamos el número de filas en la pirámide), y nuestra colección es (n + 1) Unidades de ancho, ya que 1 «o» está emparejado con todas las «x»s.

Note que esta vez, no nos importa que n sea impar o par – la fórmula de área total funciona bien., Si n es impar, tendremos un número par de elementos (n + 1) en cada fila.

pero, por supuesto, no queremos el área total (el número de x y o), solo queremos el número de X. ya que duplicamos las x para obtener las o, las x por sí mismas son solo la mitad del área total:

y volvemos a nuestra fórmula original. De nuevo, el número de x en la pirámide = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, o la suma de 1 A n.,

Técnica 4: Promedio de salida

todos sabemos que

average = sum / number of items

que podemos reescribir

sum = average * number of items

Así que vamos a calcular la suma. Si tenemos 100 números (1 1 100), entonces claramente tenemos 100 artículos. Eso fue fácil.

para obtener el promedio, observe que todos los números están distribuidos equitativamente. Por cada número grande, hay un número pequeño en el otro extremo. Veamos un pequeño conjunto:

1 2 3

el promedio es 2. 2 Ya está en el medio, y 1 y 3 «cancelar» por lo que su promedio es 2.,

para un número par de elementos

1 2 3 4

el promedio está entre 2 y 3 – es 2.5. A pesar de que tenemos un promedio fraccional, esto está bien — ya que tenemos un número par de elementos, cuando multiplicamos el promedio por la cuenta que la fracción fea desaparecerá.

aviso en ambos casos, 1 está en un lado de la media y N está igualmente lejos en el otro. Por lo tanto, podemos decir que el promedio de todo el conjunto es en realidad sólo el promedio de 1 y n: (1 + n)/2.

Poner esto en nuestra fórmula

Y ¡voilá!, Tenemos una cuarta forma de pensar acerca de nuestra fórmula.

entonces, ¿por qué es útil?

tres razones:

1) sumar números rápidamente puede ser útil para la estimación. Observe que la fórmula se expande a esto:

digamos que desea agregar los números del 1 al 1000: supongamos que obtiene 1 visitante adicional a su sitio cada día: ¿cuántos visitantes totales tendrá después de 1000 días? Desde mil cuadrado = 1 millón, obtenemos million / 2 + 1000/2 = 500,500.,

2) este concepto de sumar números 1 A N aparece en otros lugares, como averiguar la probabilidad de la paradoja del cumpleaños. Tener una comprensión firme de esta fórmula ayudará a su comprensión en muchas áreas.

3) Lo más importante, este ejemplo muestra que hay muchas maneras de entender una fórmula. Tal vez te guste el método de emparejamiento, tal vez prefieras la técnica del rectángulo, o tal vez haya otra explicación que funcione para ti. No te rindas cuando no entiendes — trata de encontrar otra explicación que funcione. Feliz matemáticas.,

Por cierto, hay más detalles sobre la historia de esta historia y la técnica que Gauss puede haber utilizado.

variaciones

en lugar de 1 a n, ¿Qué tal 5 a n?

Comience con la fórmula regular (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) y restar fuera de la parte que no desea (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

Sum for 5 + 6 + 7 + 8 + … n = – 10

Y para cualquier número de partida de un:

Sum from a to n = – 

queremos deshacernos de todos los números desde 1 hasta a – 1.

¿Qué hay de los números pares, como 2 + 4 + 6 + 8 + … + ¿n?

solo duplica la fórmula normal., Para agregar pares de 2 a 50, encontrar 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 doble:

Sum of 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n/2 + 1)

Así, para obtener los pares de 2 a 50 te gustaría hacer 25 * (25 + 1) = 650

¿Cómo acerca de los números impares, como 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

eso es lo mismo que la fórmula par, excepto que cada número es 1 menos que su contraparte (tenemos 1 en lugar de 2, 3 en lugar de 4, y así sucesivamente)., Obtenemos el siguiente número par más grande (n + 1) y quitamos los elementos adicionales (n + 1)/2 «-1»:

Sum of 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = – 

para agregar 1 + 3 + 5 + … 13, obtenga el siguiente mayor par (n + 1 = 14) y haga

 – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49

combinaciones: pares y desplazamiento

digamos que desea los pares de 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Encuentre todos los pares

2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51

y reste los que no desea

2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25

entonces, la suma de 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950

¡uF! Espero que esto ayude.,2 > otros Posts de esta serie

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