există o poveste populară că Gauss, matematician extraordinar, a avut un profesor leneș. Așa-numitul educator a vrut să-i țină pe copii ocupați pentru a putea trage un pui de somn; el a cerut clasei să adauge numerele de la 1 la 100.Gauss s-a apropiat cu răspunsul său: 5050. Așa de repede? Profesorul a suspectat un ieftin, dar nu., Manual plus era pentru fraieri, și Gauss-a găsit o formulă pentru a ocoli problema:

Să vă împărtășesc câteva explicații de acest rezultat și într-adevăr înțelege intuitiv. Pentru aceste exemple vom adăuga 1 la 10 și apoi vom vedea cum se aplică pentru 1 la 100 (sau 1 la orice număr).

tehnica 1: Pair Numbers

Pairing numbers este o abordare comună a acestei probleme., În loc să scrieți toate numerele dintr-o singură coloană, să înfășurăm numerele, astfel:

1 2 3 4 510 9 8 7 6

apare un model interesant: suma fiecărei coloane este 11. Pe măsură ce rândul de sus crește, rândul de jos scade, astfel încât suma rămâne aceeași.

care este formula de mai sus.

așteptați-ce zici de un număr impar de articole?

Ah, mă bucur că ai adus-o. Dacă adunăm numerele de la 1 la 9? Nu avem un număr par de elemente pentru a se asocia., Multe explicații vor da doar explicația de mai sus și o vor lăsa la asta. Să adăugăm numerele de la 1 la 9, dar în loc să începem de la 1, Să numărăm de la 0 în schimb:

0 1 2 3 49 8 7 6 5

numărând de la 0, obținem un „element suplimentar” (10 în total), astfel încât să putem avea un număr par de rânduri. Cu toate acestea, formula noastră va arăta puțin diferită.

care este aceeași formulă ca înainte. Întotdeauna m – a deranjat că aceeași formulă a funcționat atât pentru numere impare, cât și pentru numere par-nu veți obține o fracțiune?, Da, ai aceeași formulă, dar din motive diferite.

tehnica 2: Utilizați două rânduri

metoda de mai sus funcționează, dar gestionați numere impare și chiar diferit. Nu există o cale mai bună? Da.

în Loc de looping numere, să le scrie în două rânduri:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Observați că avem 10 perechi, fiecare pereche se adaugă până la 10+1.

totalul tuturor numerelor de mai sus este

dar vrem doar suma unui rând, nu ambele., Deci, împărțim formula de mai sus cu 2 și obținem:

acum acest lucru este cool (la fel de cool ca rândurile de numere pot fi). Acesta funcționează pentru un număr par sau impar de elemente la fel!

tehnica 3: Faceți un dreptunghi

recent am dat peste o altă explicație, o abordare nouă a vechii explicații de împerechere. Explicațiile diferite funcționează mai bine pentru diferite persoane și tind să-mi placă mai mult.

în loc să scrieți numere, pretindeți că avem fasole. Vrem să adăugăm 1 fasole la 2 fasole la 3 fasole … până la 5 fasole.,

xx xx x xx x x xx x x x x

sigur, am putea merge la 10 sau 100 de fasole, dar cu 5 ai ideea. Cum numărăm numărul de fasole din Piramida noastră?ei bine, suma este în mod clar 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Dar să ne uităm la ea într-un mod diferit. Să presupunem că oglindim Piramida noastră (voi folosi” o”pentru fasolea oglindită) și apoi o răsturnăm:

x o x o o o o ox x o o x x o o o ox x x o o o => x x x o o ox x x x o o o o x x x x o ox x x x x o o o o o x x x x x o

Cool, nu? În cazul în care vă întrebați dacă „într-adevăr” se aliniază, o face. Aruncați o privire la rândul de jos al piramidei obișnuite, cu 5 ‘ X (și 1 o)., Următorul rând al piramidei are 1 Mai puțin x (4 total) și 1 mai mult o (2 total) pentru a umple golul. La fel ca împerecherea, o parte crește, iar cealaltă scade.

acum pentru explicația: câte fasole avem în total? Ei bine, asta e doar zona dreptunghiului.

Avem n rânduri (nu ne-am schimbat numărul de rânduri în piramidă), și colecția noastră este (n + 1) unitățile de largă, începând de la 1 „o” este asociat cu „x”.

Observați că de data asta, nu ne pasă de n este par sau impar – suprafața totală formula funcționează foarte bine., Dacă n este impar, vom avea un număr par de elemente (n+1) în fiecare rând.

Dar, desigur, nu vrem suprafața totală (numărul de x si o), vrem doar numarul de x-uri. Când ne-am dublat x pentru a obține o e, x e de la sine sunt doar jumătate din suprafața totală:

Și ne-am întors la formula originală. Din nou, numărul de X în piramida = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, sau suma de la 1 la n.,

Tehnica 4: Medie

știm cu toții că

average = sum / number of items

care putem rescrie

sum = average * number of items

Deci, hai să aflăm suma. Dacă avem 100 de numere (1…100), atunci avem în mod clar 100 de articole. A fost ușor.pentru a obține media, observați că numerele sunt distribuite în mod egal. Pentru fiecare număr mare, există un număr mic la celălalt capăt. Să ne uităm la un set mic:

1 2 3

media este 2. 2 este deja în mijloc, iar 1 și 3″ anulează”, astfel încât media lor este 2.,

pentru un număr par de elemente

1 2 3 4

media este între 2 și 3 – este 2.5. Chiar dacă avem o medie fracționată, acest lucru este în regulă — deoarece avem un număr par de articole, atunci când înmulțim media cu numărul că fracțiunea urâtă va dispărea.Notă În ambele cazuri, 1 Este pe o parte a mediei și N este la fel de departe pe cealaltă. Deci, putem spune că media întregului set este de fapt doar media 1 și n: (1 + n)/2.

punerea acest lucru în formula noastră

și voila!, Avem un al patrulea mod de a gândi despre formula noastră.

deci, de ce este util acest lucru?

trei motive:

1) adăugarea rapidă a numerelor poate fi utilă pentru estimare. Observați că formula se extinde la asta:

Să spunem că doriți să adăugați numere de la 1 la 1000: să presupunem că ai 1 suplimentar vizitator la site-ul dvs. în fiecare zi – numărul total de vizitatori vei avea dupa 1000 de zile? Din moment ce mii pătrat = 1 milion, obținem million / 2 + 1000/2 = 500,500.,

2) acest concept de adăugare a numerelor 1 la N apare în alte locuri, cum ar fi găsirea probabilității pentru paradoxul zilei de naștere. Având o înțelegere fermă a acestei formule vă va ajuta să înțelegeți în multe domenii.

3) Cel mai important, acest exemplu arată că există multe modalități de a înțelege o formulă. Poate vă place metoda de împerechere, poate preferați tehnica dreptunghiului sau poate există o altă explicație care funcționează pentru dvs. Nu renunțați atunci când nu înțelegeți — încercați să găsiți o altă explicație care funcționează. Matematica fericit.,apropo ,există mai multe detalii despre istoria acestei povestiri și despre tehnica pe care Gauss a folosit-o.

variații

în loc de 1 la n, ce zici de 5 la n?

începeți cu formula obișnuită (1 + 2 + 3 + … + N = n * (N + 1) / 2) și scade partea pe care nu o doriți (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

Sum for 5 + 6 + 7 + 8 + … n = – 10

Și pentru orice număr un:

Sum from a to n = – 

vrem să scăpăm de fiecare număr de la 1 până la a – 1.

Ce zici de numere par, cum ar fi 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?doar dublați formula obișnuită., Pentru a adăuga evens de la 2 la 50, găsiți 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 și dublu:

Sum of 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n/2 + 1)

deci, pentru a obține evens de la 2 la 50 ai face 25 * (25 + 1) = 650

Ce zici de numere impare, cum ar fi 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

aceasta este aceeași cu formula uniformă, cu excepția faptului că fiecare număr este cu 1 mai mic decât omologul său (avem 1 în loc de 2, 3 în loc de 4 și așa mai departe)., Avem cel mai mare număr par (n + 1) și să ia de pe extra (n + 1)/2 „-1” elemente:

Sum of 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = – 

Pentru a adăuga 1 + 3 + 5 + … 13, obține cel mai mare chiar (n + 1 = 14) și de a face

 – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49

Combinații: uniformizează și offset

Să zicem că vrei uniformizează din 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Găsi toate uniformizează

2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51

și scade pe cele pe care nu vrei

2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25

Deci, suma de 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950

Pfiu! Sper că acest lucru ajută.,2>Alte Posturi În Această Serie

1. Tehnici pentru Adăugarea de Numere de la 1 la 100
2. Regândirea Aritmetică: Un Ghid Vizual
3. Înțelegere Rapidă: Intuitiv Sensul de Diviziune
4. Înțelegere Rapidă: Scăderea Numerelor Negative
5. Surprinzător Modele în Piața Numere (1, 4, 9, 16…)
6. se Distreze Cu Modulare Aritmetică
7. a Învăța Cum să Conta (Evitarea Aici Problema)
8. Un Ciudate Introducerea de Numărul De Sisteme
9. un Alt Uita-te la Numere Prime
10. Intuiția Pentru Raportul De Aur
11. Interpretări Diferite pentru Numărul Zero