o Radicale
o radice Quadrata
o quadrato Perfetto
o radice cubica
Obiettivi
o Comprendere il significato di un simbolo radicale
o Essere in grado di calcolare le radici quadrate e semplici di ordine superiore radici
o si Riferiscono radici di esponenti frazionari
o Applicare le regole di esponenti di derivare le regole per radici di prodotti e quozienti
potremo rivedere il significato di esponenti frazionari e metterle in relazione con i radicali. Un radicale è un simbolo che rappresenta una particolare radice di un numero., Questo simbolo è mostrato di seguito.
Sebbene questo simbolo sia simile a quello usato nella divisione lunga, un radicale è diverso e ha un significato molto diverso. Il radicale, di per sé, significa una radice quadrata. La radice quadrata di un numero n è scritta come segue.
La radice quadrata di n è definita come un altro numero r tale che il quadrato (seconda potenza) di r è uguale a n.
Diamo un’occhiata ad alcuni esempi specifici per illustrare questa relazione un po ‘ oscura., Si consideri, per esempio, il numero 4. Chiaramente, 
, e quindi, la radice quadrata di 4 è 2. Simbolicamente,
Di seguito sono riportati alcuni esempi aggiuntivi.
Gli esempi precedenti (1, 4, 9 e 16) sono chiamati quadrati perfetti, perché le loro radici quadrate sono numeri interi. I valori frazionari hanno anche radici quadrate, tuttavia.,
Inoltre, possiamo calcolare la radice quadrata di zero.
Quindi, possiamo calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero maggiore o uguale a zero; non possiamo, tuttavia, calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Si noti ancora una volta che la radice quadrata di un numero n è un numero r tale che 
. Se n è negativo e vogliamo trovare la radice quadrata di n (o 
), dobbiamo trovare un numero r tale che 
sia negativo., Ma sappiamo che il prodotto di due numeri negativi è positivo, e anche il prodotto di due numeri positivi è positivo, come mostrano gli esempi seguenti.
Inoltre, il prodotto di zero e lo zero è zero, quindi siamo di sinistra in grado di trovare un numero il cui quadrato (seconda potenza, o il prodotto del numero e della stessa) è negativo. Quindi, consideriamo la radice quadrata di un numero negativo non definita., (In realtà, un intero ramo della matematica è dedicato allo studio delle radici quadrate dei numeri negativi; ma è un campo di studio reale con numerose applicazioni pratiche in fisica e ingegneria, per esempio.)
Problema di pratica: valuta ogni radice quadrata.
b. 
c.
d., 
Soluzione: In ogni caso, determinare il numero n che, se al quadrato (elevato alla seconda potenza), sarebbe uguale al numero sotto il radicale. Nessuno di questi richiede una calcolatrice, anche se potresti scoprire che una calcolatrice ti aiuta a controllare la tua risposta.
b. 
c. 
d., 
Generalmente, la valutazione delle radici quadrate richiede una calcolatrice. Esistono tuttavia metodi lunghi (“a mano”) per calcolare una radice quadrata, sebbene possano essere noiosi. Inoltre, le radici quadrate di molti numeri (inclusi interi che non sono quadrati perfetti) sono irrazionali., Pertanto, i calcolatori (compresi i computer) e i lunghi metodi di calcolo della radice quadrata possono solo dare risultati approssimativi; i numeri effettivi hanno un numero infinito di cifre decimali e non possono essere scritti come una frazione con numeri interi nel numeratore e nel denominatore. Pertanto, nell’interesse della matematica esatta, a volte è preferibile lasciare i numeri in forma radicale (invece di scrivere un decimale approssimativo). Ad esempio, potremmo preferire scrivere 
invece di 1.414, che è solo un’approssimazione a tre cifre decimali.,
Altre radici
Sopra, abbiamo discusso esclusivamente le radici quadrate e abbiamo notato che il simbolo radicale di per sé indica la radice quadrata. In alcuni casi, tuttavia, potremmo essere interessati a calcolare altre radici di numeri. Per ribadire, la radice quadrata di n è un numero r, dove si applicano le seguenti relazioni.
Possiamo anche calcolare, ad esempio, la terza radice (chiamata anche radice cubica) di un numero n. Per rappresentare la terza radice, aggiungiamo un piccolo numero 3 accanto al radicale come mostrato nelle relazioni seguenti., Queste espressioni riguardano il numero n e la sua radice cubica r.
Diamo un’occhiata ad alcuni esempi.
Si può anche definire un generale kth radice di un numero n,che è,
In altre parole, se un numero n è uguale a un numero r elevato alla potenza di k, allora il kth di radice di n è r. Ulteriori esempi sono riportati di seguito.,
Calcolare mentalmente o manualmente le radici oltre la radice quadrata diventa sempre più difficile; quindi, in questi casi, è generalmente necessario un calcolatore. Inoltre, pochissimi numeri hanno radici kth che sono interi, il che significa che la maggior parte delle radici kth sono numeri irrazionali, che non possono essere scritti esattamente in forma decimale o frazionaria. Ci occuperemo principalmente di radici quadrate; si dovrebbe ora, tuttavia, avere una certa familiarità con altre radici., Ora abbiamo anche una base sufficiente per permetterci di mettere in relazione le radici con gli esponenti.
Problema di pratica: valuta l’espressione in ogni caso.
a. 
b. 
c.
Soluzione: come per il precedente problema di pratica, questi numeri non richiedono l’uso di una calcolatrice, ma potrebbero richiedere qualche attenta riflessione (e forse qualche prova ed errore). Nella parte c, si noti che 1 elevato a qualsiasi esponente (espresso come c) è 1.
b., 
c. 
Esponenti Frazionari
Prima di prendere in considerazione alcune regole per trattare con i radicali, che possiamo imparare molto da loro semplicemente mettendoli in relazione con gli esponenti. Si noti che abbiamo usato esponenti per spiegare il significato di una radice (e il simbolo radicale):
Possiamo applicare le regole degli esponenti alla seconda espressione, 
., Ricordiamo la regola mostrato di seguito:
tornando all’espressione 
, proviamo a riscrivere la sinistra (n) utilizzando la regola di cui sopra e fare il presupposto che la regola funziona per esponenti frazionari nonché esponenti interi (non abbiamo motivo di pensare altrimenti, a questo punto).,
si noti che le espressioni tra parentesi (r e 
) deve essere uguale:
Ora, proviamo a confrontare questo risultato con l’altra relazione dall’inizio di questa discussione particolare:
Così, è una radice quadrata (radicale) è la stessa di un esponente frazionario-
, in questo caso. Possiamo usare un ragionamento simile per mostrare che la radice kth di un numero n è la stessa di n sollevata alla potenza di 
.,
Quindi, possiamo avvicinarci alle espressioni radicali nei loro termini o come espressioni esponenziali. In alcuni casi, scrivere l’espressione usando gli esponenti può semplificare la matematica; in altri casi, attaccare con la forma radicale è meglio. In ogni caso, abbiamo ora descritto il significato di tutti gli esponenti, inclusi i valori positivi e negativi, nonché i valori interi e frazionari. Inoltre, possiamo usare le regole per un prodotto o un quoziente elevato a un potere per mostrare come il radicale è distribuito in questi casi.,
Queste regole possono essere utili per semplificare le espressioni radicali e per eseguire operazioni aritmetiche sui radicali.
Problema di pratica: valuta ciascuna delle seguenti espressioni.
a. 
b. 
c.
Soluzione: in ogni caso, applicare le regole dei radicali (o esponenti) per valutare l’espressione., Nella parte b, possiamo dividere l’esponente in un prodotto di un numero intero (2) e una frazione (
) per semplificare il calcolo del risultato.
b.
c.